浅谈求解空间角的化归思想

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1、浅谈求解空间角的化归思想高中立体几何中的空间介主要包括异面肓线的夹角、斜线和平面的夹角、二面和的平面角，这些空间角的定义及求解过程都蕴含着转化与化归的数学思想.通俗地说，先把要解决的A任务转化为B任务再把B任务解决从而使A任务得以解决，就是转化与化归的数学思想.因此，转化与化归的数学思想有着极广泛的作用，不夸张地说，学习数学的过程就是对转化与化归的数学思想逐步深入理解并自觉运用的过程，这种思想最终表现为一个人独立分析并解决问题的巨人能力，集屮体现了一个人的数学素养，理所当然成为历年高考数学必考的核心内容

2、.本文借助实例试对求解空间角的过程进行粗浅探讨，并初步展现转化与化归内涵的丰富性和节奏的美妙感，谨供大家参考.为了在解题过程中更充分地实现转化与化归，我们先引入一个结论：如图(1),直二面角4一/一0小，直线ABUQ且ABpR二A,CDU0且CDflkC.若直线AB、CD与交图(1)异面肓线AB与CD的距离/本文用坐标法证明:如图(1),空间人怡标系C一xyz,则A(0,m,0).在直线AB±取点E,使

3、AE

4、=1,线/所成的角分别为q、。2,且IAC1=01,则在直线CD±取点F,使

5、CF

6、=1,则A

7、E=（sinq,土cos/】，0）,CF=（0,土cosg，sing）..设与AE.CF都垂直的向量为n=(x,y,z),有AE•n=0,CF•n=0,解方程组，可取〃=(土cotq,1,土cot&2)，则异面直线AB与CD的距离二

8、鬲・n/I=m/Jl+co"+co“•我们先探讨2011年高考全国卷I(理科)第18题•如图(2),四棱锥P—ABCD中,底ffiABCD为平行四边形，ZDAB=60°,AB=2AD,PD丄底面ABCD.(I)证明：PA丄BD；(II)若PD=AD,求二而角A-PB-

9、C的余弦值.对于二而角的求解问题，本文运用转化与化归的数学思想，尝试以下解决途径.途径一：通过坐标求法向量的夹角进行转化，在此不再叙述.途径二：通过空间向最的运算进行转化.作FFCB歹D图(2)连结DE.易得AD丄而PDB,乂AE丄PB,所以山三垂线定理逆定理得DE丄PB.AE丄PB于E.因为PD丄面ABCD,BD丄BC,所以由三垂线定理得BC丄PB,则求二而角A-PB-C的平面角转化为求向量鬲AiBC的夹角.令AD=1,求得AB=PB=2,DE=a/3/2,AE二"/2,BE=3/2,又況〜=(而+荒

10、)2>2►•—2=AB+2AB-BC+BC=7.另外‘•2‘••‘•-AC=(~EA+EB+BC)222°亍亍=EA^+~EB+BC^-2IEA\BCIcos<,BC>,解得cos=—2丿7/7.途径三：通过解三角形进行转化.作AE丄PB于E,连结DE,在而PBC内作EF丄PB,交PC于F,连结AF,则ZAEF即为所求平面角，转化为解三角形AEF.令AD=1.由途径二的计算得AE=J7/2,AC=a/7,BE=3/2,得点E、F为四等分点，所以EF=1/4.又PC二JLAP=a/2,则Z

11、APC=90°,得AF=V37/4.在ZAEF屮，由余弦定理得cosZAEF=-2V7/7.途径四：通过拆分冃标二面角进行转化.易得二面角D-PB-C为直二

12、侨角，冃标转化为求二面角A-PB-D的平血角.山途径二得，ZDEA即为所求.令AD=1.在RtNDAE中，sinZDEA=2V7/7.设二面角A-PB-C的平面角为则a=5I2)+ZDEA,所以cos(7=—2>/7/7.途径五：将二面和转化为点到平面的距离.可以选择求点A到面PBC或点C到面PAB的距离，在此我们选择后者./ABC的面积S1=(l

13、/2)ABBC-sinZABC=V3/2,由途径二的计算得ZPAB的面积S?=(1/2)PB-AE=V7/2.设C到血PAB的距离为h,乂PD=1,由等体积法可知S「PD二S/h解得h=V21/7,乂BC丄PB,BC=1,贝ijsino二何/7,因为平面角Q为钝角，所以cos^Z=—2V7/7.途径六：同途径五转化，只是我们选择本文结论求点C到面PAB的距离.因为CD〃AB,从而CD〃血PAB,所以点C到血PAB的距离转化为CD到面PAB的距离；因为CD与PA是异面直线，所以转化为异面直线CD与PA的距

14、离；因为面PDA丄而ABCD,所以可用木文结论.又AD=1,ZPAD=45°,CD与AD所成角为60°,代入公式得点C到面PAB的距离为V21/7,下略.我们再探讨2011年高考全国卷II（理科）第19题.如图（3）,四棱锥S-ABCD中,AB〃CD,BC丄CD,侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2,CD=SD=1.（I）证明：SD丄平面SAB；（II）求AB与平面SBC所成角的大小.图（3）对于线面角的求解问题，本文运用转化与化归的数学