二次函数平移旋转对称.doc

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1、二次函数平移、旋转、对称专题例1（09年宁德）．（本题满分13分）如图，已知抛物线C1：的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1．（1）求P点坐标及a的值；（4分）（2）如图（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式；（4分）（3）如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4．抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标．（

2、5分）yxAOBPM图1C1C2C3图（1）yxAOBPN图2C1C4QEF图（2）解：（1）由抛物线C1：得顶点P的为（-2，-5）………2分∵点B（1，0）在抛物线C1上∴解得，a＝………4分（2）连接PM，作PH⊥x轴于H，作MG⊥x轴于G∵点P、M关于点B成中心对称∴PM过点B，且PB＝MB∴△PBH≌△MBG∴MG＝PH＝5，BG＝BH＝3∴顶点M的坐标为（4，5）………6分抛物线C2由C1关于x轴对称得到，抛物线C3由C2平移得到∴抛物线C3的表达式为………8分（3）∵抛物线C4由C1绕点x轴上的点Q旋转180°得到∴顶点N、P关于点Q成中心对称由（2）得点N的纵坐标

3、为5yxAOBPN图(2)C1C4QEFHGK设点N坐标为（m，5）………9分作PH⊥x轴于H，作NG⊥x轴于G作PK⊥NG于K∵旋转中心Q在x轴上∴EF＝AB＝2BH＝6∴FG＝3，点F坐标为（m+3，0）H坐标为（2，0），K坐标为（m，-5），根据勾股定理得PN2＝NK2+PK2＝m2+4m+104PF2＝PH2+HF2＝m2+10m+50NF2＝52+32＝34………10分①当∠PNF＝90º时，PN2+NF2＝PF2，解得m＝，∴Q点坐标为（，0）②当∠PFN＝90º时，PF2+NF2＝PN2，解得m＝，∴Q点坐标为（，0）③∵PN＞NK＝10＞NF，∴∠NPF≠90º

4、综上所得，当Q点坐标为（，0）或（，0）时，以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形．………13分例2、ABCDGo第2题如图，在平面直角坐标系xoy中，矩形ABCD的边AB在x轴上，且AB=3，BC=，直线y=经过点C，交y轴于点G。（1）点C、D的坐标分别是C（），D（）；（2）求顶点在直线y=上且经过点C、D的抛物线的解析式；（3）将（2）中的抛物线沿直线y=平移，平移后的抛物线交y轴于点F，顶点为点E（顶点在y轴右侧）。平移后是否存在这样的抛物线，使⊿EFG为等腰三角形？若存在，请求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由。解：（1）……2′（2）由二次函数对称性得顶点

5、横坐标为，代入一次函数，得顶点坐标为（，），∴设抛物线解析式为，把点代入得，……2′∴解析式为（3）设顶点E在直线上运动的横坐标为m，则……2′∴可设解析式为①当FG=EG时，FG=EG=2m，代入解析式得：，得m=0(舍去)，，……2′此时所求的解析式为：；②当GE=EF时，FG=4m，代入解析式得：，得m=0(舍去)，，……2′此时所求的解析式为：；③当FG=FE时，不存在；例3、如图，已知抛物线与x轴交于点A(-2,0),B(4,0)，与y轴交于点C(0,8)．（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；（2）设直线CD交x轴于点E，过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，在坐标

6、平面内找一点G，使以点G、F、C为顶点的三角形与△COE相似，请直接写出符合要求的，并在第一象限的点G的坐标；（3）在线段OB的垂直平分线上是否存在点P，使得点P到直线CD的距离等于点P到原点O的距离？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（4）将抛物线沿其对称轴平移，使抛物线与线段EF总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？解：（1）设抛物线解析式为，把代入得．……………1分ABCOxyDFHPE，顶点……………2分(2)G(4,8),G(8,8),G(4,4)……………3分（3）假设满足条件的点存在，依题意设，由求得直线的解析式为…………1分它与轴

7、的夹角为，设的中垂线交于，则．则，点到的距离为．又．．平方并整理得：，．……………1分存在满足条件的点，的坐标为．……………1分（4）由上求得．抛物线向上平移，可设解析式为．当时，．当时，．或．……………1分．∴向上最多可平移72个单位长。……………2分练习1、已知抛物线：（1）求抛物线的顶点坐标.（2）将抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线，求抛物线的解析式.（3）如下图，抛物线的顶点为P，轴上有一动点M，在、这两条抛物线上是否存在点N，使O（原点）、P、M、