二次函数专题四：平移对称旋转

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1、二次函数专题四：平移对称旋转问题引子：平移问题以前讲过了，现在重点将对称旋转问题我们知道（a，b）关于x轴对称的点的坐标为（a，－b），关于y轴对称的点的坐标为（－a，b），关于原点对称的点的坐标为（－a，－b），关于直线x=m的对称点为（2m－a，b），关于直线y=n的对称点为（a，2n－b），关于点（m，n）的对称点为（2m－a，2n－b）逆时针旋转90°的坐标为（－b，a），顺时针旋转90°的坐标为（b，－a）任意两点（x1，y1）和（x2，y2）的中点为对于抛物线关于x轴、y轴、x=a、y=b的对称抛物线，应该都会了吧，现在重点讲解抛物线关于某点（m，n）的对称抛物线解析式（

2、其他旋转、平移、关于直线对称都可以用这个方法解决），为了方便，选取抛物线的顶点式来证明2例：对于一个抛物线y=a（x－h）+k（a≠0）来说，坐标为（x，y）的所有点都在他的图像上，关于（m，n）的对称点为（2m－x，2n－y），那么坐标为（2m－x，2n－y）都在抛物线关于（m，n）对称的抛物线上，我们把（2m－x，2n－y）代2入y=a（x－h）+k（a≠0）就可以得到它关于（m，n）对称的抛物线的解析式为22n－y=a（2m－x－h）+k，变形为2y=－a（x－2m+h）+2n－k现在利用待定系数法来验证这个方法是否正确2首先y=a（x－h）+k（a≠0）和它关于点（m，n）的

3、对称的抛物线的开口大小是一样的，所以二次项系数的绝对值是相同的，由于关于点对称，开口方向是相反的，故二次项系数互为相反数；其次原抛物线与对称抛物线的顶点是关于（m，n）对称的，原抛物线的顶点为（h，k），它关于（m，n）的对称点的坐标为（2m－h，22n－k），那么对称抛物线的解析式可以写成y=－a（x－2m+h）+2n－k，和利用上述方法所得结果一致221、已知抛物线C1：y=ax－2amx+am+2m+1(a>0，m>1)的顶点为A，抛物线C2的对称轴是y轴，顶点为B，且抛物线C1和C2关于P(1，3)成中心对称（1）用含m的代数式表示抛物线C1的顶点坐标（2）求m的值和抛物线C

4、2的解析式（3）设抛物线C2与x正半轴的交点是C，当△ABC为等腰三角形时，求a的值思路点拨：（1）很多人一看到求抛物线的顶点，习惯使用顶点的坐标公式来求，如果你熟悉因式分解和抛物线的顶点公式是如何得到的，那么这个题明显利用配2方更容易得到顶点坐标，y=a（x－m）+2m+1，故顶点坐标为（m，2m+1）（1）C1和C2关于点对称，利用上述方法容易求出C2的解析式和顶点坐标，易知m=2222解：（1）由于抛物线C1：y=ax-2amx+am+2m+1=a（x-m）+2m+1，故抛物线C1的顶点A（m，2m+1）．（2）分别过A、P作y轴的垂线，设垂足为F、E；1∵A、B关于P点呈中心

5、对称，∴AB=2BP；∴PE是△ABF的中位线，即AF=2PE=2，故m=2，A（2，5）；设直线AP的解析式为y=kx+b，则有：kb3，2kb5解得k=2,b=1，∴直线AP：y=2x+1，故B（0，1）；由于抛物线C1和C2关于P（1，3）成中心对称，且顶点B（0，1），则：2抛物线C2：y=-ax+1．（3）设C（x，0），已知A（2，5），B（0，1）；222AB=（2-0）+（5-1）=20，2222AC=（2-x）+5=x-4x+29，222BC=（0-x）+1=x+1；若△ABC为等腰三角形，则有：①AB=AC，由于AB=25，而A（2，5），因此AC≥

6、5，故AB＜AC，此种情况不成立；22②AB=BC，则AB=BC，有：2x+1=20，解得x=±19（负值舍去）；将x=191代入抛物线C2的解析式中，得：-19a+1=0，即a=；1922③AC=BC，则AC=BC，有：22x-4x+29=x+1，解得x=7；1将x=7代入抛物线C2的解析式中，得：-49a+1=0，即a=；4911故△ABC为等腰三角形时，a的值为或．19492、如图，已知抛物线与x轴交于点A（-2，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，8），（1）试求抛物线的解析式；（2）设点D是该抛物线的顶点，试求直线CD的解析式；（3）若直线CD交x轴于点E，过点B作x轴

7、的垂线，交直线CD于点F，将抛物线沿其对称轴上、下平移，使抛物线与线段EF总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？2解：（1）抛物线的解析式为y=a（x+2）（x-4），∵抛物线与y轴交于点C（0，8），∴-8a=8，解得a=-1，2∴y=-x+2x+8；2（2）∵y=-x+2x+8，∴顶点坐标为（1，9），设过CD的解析式为y=kx+b，∴b=8，k+8=9，解得k=1，∴过CD的解析式为y=x+8；若直线C