2020_2021学年高中数学第三章空间向量与立体几何3.2第3课时用空间向量解决空间角与距离问题课时跟踪训练含解析新人教A版选修2_1.doc

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1、用空间向量解决空间角与距离问题[A组　学业达标]1.如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1＝2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为(　　)A.　　　　　　　B.C.D.解析：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，设AB＝1.则B(1,1,0)，A1(1,0,2)，A(1,0,0)，D1(0,0,2)，＝(0,1，－2)，＝(－1,0,2)，cos〈，〉＝＝＝－，∴异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为.答案：D2．二面角的棱上有A、B

2、两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2，则该二面角的大小为(　　)A．150°　　　　　　　B．45°C．60°D．120°解析：由条件，知·＝0，·＝0，＝＋＋.∴

3、

4、2＝

5、

6、2＋

7、

8、2＋

9、

10、2＋2·＋2·＋2·＝62＋42＋82＋2×6×8cos〈，〉＝(2)2，∴cos〈，〉＝－，〈，〉＝120°，∴二面角的大小为60°.答案：C3．把正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角，点E、F分别是AD、BC的中点，O是正方形中心，则

11、折起后，∠EOF的大小为(　　)A．30°B．90°C．120°D．60°解析：＝(＋)，＝(＋)，∴·＝(·＋·＋·＋·)＝－

12、

13、2.又

14、

15、＝

16、

17、＝

18、

19、，∴cos〈，〉＝＝－.∴∠EOF＝120°.故选C.答案：C4．正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为(　　)A.B.C.D.解析：建系如图，设正方体棱长为1，则＝(0,0,1)．∵B1D⊥面ACD1，∴取＝(1,1,1)为面ACD1的法向量．设BB1与平面ACD1所成角为θ，则sinθ＝＝＝，∴cosθ＝.答案：D5

20、.如图所示，在几何体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，且AB＝BC＝1，CD＝2，点E为CD中点，则AE的长为(　　)A.B.C．2D.解析：＝＋＋，∵

21、

22、＝

23、

24、＝1＝

25、

26、，且·＝·＝·＝0.又∵2＝(＋＋)2，∴2＝3，∴AE的长为.故选B.答案：B6.如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB＝1，点D在棱BB1上，且BD＝1，则AD与平面AA1C1C所成角的正弦值为________．解析：取AC、A1C1的中点M、M1，连接MM1、BM.过D作DN∥BM，交MM1于点N，则容易证明DN

27、⊥平面AA1C1C.连接AN，则∠DAN就是AD与平面AA1C1C所成的角．在Rt△DAN中，sin∠DAN＝＝＝.答案：7．正方体ABCDA1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成的角的正弦值是________．解析：如图，以DA、DC、DD1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，取正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，易证是平面A1BD的一个法向量.＝(－1,1,1)，＝(－1,0,1)．cos〈，〉＝＝.所以BC1与平面A1BD所成角的正弦值为.答案

28、：8.如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成角的大小是________．答案：90°9.如图所示，已知在四面体ABCD中，O为BD的中点，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝.(1)求证：AO⊥平面BCD；(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值．解析：(1)证明：因为BO＝DO，AB＝AD，所以AO⊥BD.因为BO＝DO，BC＝CD，所以CO⊥BD.在△AOC中，由已知可得AO＝1，CO＝，而AC＝2，所以AO2＋CO2＝AC2，所以

29、∠AOC＝90°，即AO⊥OC.因为BD∩OC＝O，所以AO⊥平面BCD.(2)以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(－1,0,0)，C(0，，0)，A(0,0,1)，＝(－1,0,1)，＝(－1，－，0)，所以cos〈，〉＝＝，所以异面直线AB与CD所成角的余弦值为.10.如图，四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AD＝CD＝1，∠BAD＝120°，∠ACB＝90°.(1)求证：BC⊥平面PAC；(2)若二面角DPCA的余弦值为，求点A到平面PBC的距离

30、．解析：(1)证明：∵PA⊥底面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PA⊥BC，∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC，又PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.(2)设AP＝h，取CD的中点E，则AE⊥CD，∴AE⊥AB.又PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AE，PA⊥AB，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，P(0,0，h)，C，D，B(0,2,0)，＝，＝(0,1,0)，设平面PDC的法向量n1＝(x1，y1，z1)，则即取x1＝h，∴n1