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《浙江专版2018-2019高中数学第三章空间向量与立体几何3.2第3课时用空间向量解决空间角与距离问题学案新人教A版选修2 》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第3课时 用空间向量解决空间角与距离问题学习目标 1.理解直线与平面所成角、二面角的概念.2.掌握向量法解决空间角和距离问题.3.体会空间向量解决立体几何问题的三步曲．知识点 空间三种角的向量求法空间角包括线线角、线面角、二面角，这三种角的定义确定了它们相应的取值范围，结合它们的取值范围可以用向量法进行求解．角的分类向量求法范围异面直线所成的角设两异面直线所成的角为θ，它们的方向向量分别为a，b，则cosθ＝
2、cos〈a，b〉
3、＝直线与平面所成的角设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则sinθ＝
4、cos〈a，n〉
5、＝二面角设二面角α－l－β为θ，平
6、面α，β的法向量分别为n1，n2，则
7、cosθ
8、＝
9、cos〈n1，n2〉
10、＝[0，π](1)直线与平面所成的角α与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角β互余．(×)(2)二面角的大小范围是.(×)(3)二面角的大小等于其两个半平面的法向量的夹角的大小．(×)(4)直线与平面所成角的范围是.(√)类型一 求线线角、线面角例1 (1)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成的角的余弦值为________．考点 向量法求直线与直线所成的角题点 向量法求线线角答案 解析 如图所示，以C为坐标原点，直线C
11、A为x轴，直线CB为y轴，直线CC1为z轴建立空间直角坐标系Cxyz.设CA＝CB＝CC1＝1，则B(0,1,0)，M，A(1,0,0)，N，故＝，＝，所以cos〈，〉＝＝＝.(2)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M，N分别为PC，PB的中点．①求证：PB⊥DM；②求BD与平面ADMN所成的角．考点 向量法求直线与直线所成的角题点 向量法求线线角①证明 如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz，设BC＝1，则A(0,0,0)，P(0,
12、0,2)，B(2,0,0)，D(0,2,0)，C(2,1,0)，M.∵·＝(2,0，－2)·＝0，∴PB⊥DM.②解 ∵·＝(2,0，－2)·(0,2,0)＝0，∴PB⊥AD.又∵PB⊥DM，AD∩DM＝D，∴PB⊥平面ADMN.即为平面ADMN的一个法向量．因此〈，〉的余角即是BD与平面ADMN所成的角．∵cos〈，〉＝＝＝，且〈，〉∈[0，π]，∴〈，〉＝，∴BD与平面ADMN所成的角为.反思与感悟 用向量法解决线线角、线面角问题时，首先需建立适当的坐标系，然后求解相应的向量表达式，再借助于空间向量的运算进行求解．跟踪训练1 (1)已知在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1
13、D1中，E是DC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，则AB1与D1E所成角的余弦值为( )A.B.C．－D．－考点 向量法求线线角题点 向量法求线线角答案 A解析 ∵A(2,2,0)，B1(2,0,2)，E(0,1,0)，D1(0,2,2)，∴＝(0，－2,2)，＝(0,1,2)，∴
14、
15、＝2，
16、
17、＝，·＝0－2＋4＝2，∴cos〈，〉＝＝＝，又异面直线所成角的范围是，∴AB1与ED1所成角的余弦值为.(2)如图所示，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.①证明：AB⊥A1C；②若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面
18、BB1C1C所成角的正弦值．考点 向量法求线面角题点 向量法求线面角①证明 取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B.∵CA＝CB，∴OC⊥AB.由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B为等边三角形，∴OA1⊥AB.∵OC∩OA1＝O，∴AB⊥平面OA1C.又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C.②解 由①知OC⊥AB，OA1⊥AB.又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，OC⊂平面ABC，∴OC⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两垂直．以O为坐标原点，OA，OA1，OC所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.设AB＝2，则A(
19、1,0,0)，A1(0，，0)，C(0,0，)，B(－1,0,0)，则＝(1,0，)，＝＝(－1，，0)，＝(0，－，)．设n＝(x，y，z)是平面BB1C1C的法向量，则即可取n＝(，1，－1)．故cos〈n，〉＝＝－，∴A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为.类型二 求二面角问题例2 如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点，求二面角A－A1D－B的余弦值．考点 向量法求二面角题点 向量法求二面角解 取BC的中点O，连接AO，因为△ABC是正
