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《2018版高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2 第3课时 空间向量与空间角学案 新人教a版选修2-1》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第3课时 空间向量与空间角1.会用向量法求线线、线面、面面的夹角.(重点、难点)2.正确区分向量夹角与所求线线角、面面角的关系.(易错点)[基础·初探]教材整理 空间角的向量求法阅读教材P106～P110的内容，完成下列问题.角的分类向量求法范围两异面直线l1与l2所成的角θ设l1与l2的方向向量为a，b，则cosθ＝________＝________直线l与平面α所成的角θ设l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则sinθ＝________＝________二面角αlβ的平面角θ设平面α，β的法向量为n1，n2，则
2、cosθ
3、＝________＝[0，π]【答
4、案】
5、cos〈a，b〉
6、
7、cos〈a，n〉
8、
9、cos〈n1，n2〉
10、已知向量m，n分别是直线l与平面α的方向向量、法向量，若cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为( )A.30°B.60° C.150° D.120°【解析】 设l与α所成的角为θ，则sinθ＝
11、cos〈m，n〉
12、＝，∴θ＝60°，应选B.【答案】 B[小组合作型]求异面直线所成的角 如图3220，在三棱锥VABC中，顶点C在空间直角坐标系的原点处，顶点A，B，V分别在x轴、y轴、z轴上，D是线段AB的中点，且AC＝BC＝2，∠VDC＝θ.当θ＝时，求异面直线AC与VD所成角的
13、余弦值.图3220【精彩点拨】 →→【自主解答】 由于AC＝BC＝2，D是AB的中点，所以C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(1,1,0).当θ＝时，在Rt△VCD中，CD＝，∴V(0,0,)，∴＝(－2,0,0)，＝(1,1，－)，∴cos〈，〉＝＝＝－.∴异面直线AC与VD所成角的余弦值为.1.几何法求异面直线的夹角时，需要通过作平行线将异面直线的夹角转化为平面角，再解三角形来求解，过程相当复杂；用向量法求异面直线的夹角，可以避免复杂的几何作图和论证过程，只需对相应向量进行运算即可.2.由于两异面直线夹角θ的范围是，而两向量夹角α的范围
14、是[0，π]，故应有cosθ＝
15、cosα
16、，求解时要特别注意.[再练一题]1.在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知DA＝DC＝4，DD1＝3，求异面直线A1B与B1C所成角的余弦值.【解】 以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图，则A1(4,0,3)，B(4,4,0)，B1(4,4,3)，C(0,4,0)，得＝(0,4，－3)，＝(－4,0，－3).设与的夹角为θ，则cosθ＝＝，故与的夹角的余弦值为，即异面直线A1B与B1C所成角的余弦值为.求线面角 如图3221所示，三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，
17、AB⊥AC，PA＝AC＝AB，N为AB上一点，AB＝4AN，M，S分别为PB，BC的中点.图3221(1)证明：CM⊥SN;【导学号：37792141】(2)求SN与平面CMN所成角的大小.【精彩点拨】 (1)怎样建立坐标系？(2)向量与满足什么关系时有CM⊥SN成立？(3)的坐标是多少？平面CMN的一个法向量怎么求？与平面CMN的法向量的夹角就是SN与平面CMN所成的角吗？【自主解答】 设PA＝1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x轴，y轴，z轴正向建立空间直角坐标系(如图).则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，又AN＝AB，M，S分
18、别为PB，BC的中点，∴N，M，S，(1)证明：＝，＝，∴·＝·＝0，因此CM⊥SN.(2)＝，设a＝(x，y，z)为平面CMN的一个法向量，∴·a＝0，·a＝0.则∴取y＝1，得a＝(2,1，－2).因为cos〈a，＝＝－.∴〈a，〉＝π.所以SN与平面CMN所成的角为π－＝.1.本题中直线的方向向量与平面的法向量a的夹角并不是所求线面角θ，它们的关系是sinθ＝
19、cos〈，a〉
20、.2.若直线l与平面α的夹角为θ，利用法向量计算θ的步骤如下：[再练一题]2.设在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，E，F依次为C1C，BC的
21、中点.试求A1B与平面AEF的夹角的正弦值.【导学号：37792142】图3222【解】 以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，A1(0,0,2)，B(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,1,0)，所以＝(2,0，－2)，＝(0,2,1)，＝(1,1,0).设平面AEF的一个法向量为n＝(a，b，c)，由得令a＝1，可得n＝(1，－1,2).设A1B与平面AEF的夹角为θ，所以sinθ＝
22、cos〈n，〉
23、＝＝，即A1B与平面AEF的夹角的正弦值为.[探究共研型]求二面角探究 如何利用向量求二面角的大小？【提示】 当空间直角坐标系容易建
24、立(有特殊的位置关系)时
