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《2018版高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2 第1课时 空间向量与平行关系学案 新人教a版选修2-1》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第1课时 空间向量与平行关系1.掌握直线的方向向量，平面的法向量的概念及求法.(重点)2.熟练掌握用方向向量，法向量证明线线、线面、面面间的平行关系.(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 直线的方向向量与平面的法向量阅读教材P102～P103“第2自然段”内容，完成下列问题.1.直线的方向向量的定义直线的方向向量是指和这条直线_____________的非零向量，一条直线的方向向量有________个.【答案】 平行或共线 无数2.平面的法向量的定义直线l⊥α，取直线l的________a，则a叫做平面α的法向量.【答案】 方向向量若
2、A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为( )A.(1,2,3) B.(1,3,2)C.(2,1,3)D.(3,2,1)【解析】 ＝(2,4,6)＝2(1,2,3).【答案】 A教材整理2 空间中平行关系的向量表示阅读教材P102～P103内容，完成下列问题.线线平行设两条不重合的直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m⇒________⇔________线面平行设l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔___
3、_____⇔________面面平行设α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔________⇔________【答案】 a∥b (a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2) a·u＝0 a1a2＋b1b2＋c1c2＝0 u∥v (a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)若直线l的方向向量a＝(2,2，－1)，平面α的法向量μ＝(－6,8,4)，则直线l与平面α的位置关系是________.【解析】 ∵μ·a＝－12＋16－4＝0，∴μ⊥a，∴l⊂α或l∥α.【答案】 l⊂α或l∥α[小组合作
4、型]求平面的法向量 已知ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，试建立适当的坐标系.图321(1)求平面ABCD的一个法向量；(2)求平面SAB的一个法向量；(3)求平面SCD的一个法向量.【精彩点拨】 (1)根据图形特点，如何建立坐标系更方便？(2)怎样求平面的法向量？题中所要求的三个平面的法向量在求解时方法是否相同？【自主解答】 以点A为原点，AD、AB、AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0)，D，S(
5、0,0,1).(1)∵SA⊥平面ABCD，∴＝(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量.(2)∵AD⊥AB，AD⊥SA，∴AD⊥平面SAB，∴＝是平面SAB的一个法向量.(3)在平面SCD中，＝，＝(1,1，－1).设平面SCD的法向量是n＝(x，y，z)，则n⊥，n⊥，所以得方程组∴令y＝－1，得x＝2，z＝1，∴n＝(2，－1,1).1.若一个几何体中存在线面垂直关系，则平面的垂线的方向向量即为平面的法向量.2.一般情况下，使用待定系数法求平面的法向量，步骤如下：(1)设出平面的法向量为n＝(x，y，z).(2)找出(求出)平面内的
6、两个不共线的向量a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2).(3)根据法向量的定义建立关于x，y，z的方程组(4)解方程组，取其中的一个解，即得法向量.3.在利用上述步骤求解平面的法向量时，方程组有无数多个解，只需给x，y，z中的一个变量赋于一个值，即可确定平面的一个法向量；赋的值不同，所求平面的法向量就不同，但它们是共线向量.[再练一题]1.正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为棱A1D1、A1B1的中点，在如图322所示的空间直角坐标系中，求：【导学号：37792126】图322(1)平面BDD1B1的一个法向量；(
7、2)平面BDEF的一个法向量.【解】 设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则D(0,0,0)，B(2,2,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，E(1,0,2).(1)连接AC，因为AC⊥平面BDD1B1，所以＝(－2,2,0)为平面BDD1B1的一个法向量.(2)＝(2,2,0)，＝(1,0,2).设平面BDEF的一个法向量为n＝(x，y，z).∴∴∴令x＝2，得y＝－2，z＝－1.∴n＝(2，－2，－1)即为平面BDEF的一个法向量.利用空间向量证明线线平行 如图323所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别
8、为DD1和BB1的中点.求证：四边形AEC1F是平行四边形.图323【精彩点拨】 两直线的方向向量满足什么条件能说明它们平行？【自主解答】 以点D为坐标原点，分别以，，为正交基底建立空间直角坐标系，不妨设正
