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《2018年秋高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2 立体几何中的向量方法 第1课时 空间向量与平行关系学案 新人教A版选修2-1》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第1课时 空间向量与平行关系学习目标：1.掌握直线的方向向量，平面的法向量的概念及求法．(重点)2.熟练掌握用方向向量，法向量证明线线、线面、面面间的平行关系．(重点、难点)[自主预习·探新知]1．直线的方向向量与平面的法向量(1)直线的方向向量的定义直线的方向向量是指和这条直线_平行或共线的非零向量，一条直线的方向向量有无数个．(2)平面的法向量的定义直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则a叫做平面α的法向量．思考：直线的方向向量(平面的法向量)是否唯一？[提示] 不唯一，直线的方向向量(平面的法向量)有无数个，它们分别是共线向量．2．空间中平行关系的向量表示线线平行设
2、两条不重合的直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m⇒a∥b⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)线面平行设l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔a·u＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0面面平行设α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔u∥v⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)[基础自测]1．思考辨析(1)一个平面的单位法向量是唯一的．( )(2)一条直线的方向向量和一个平面的法向量垂直，则这条直线和这个平面平
3、行．( )(3)若两个平面的法向量不平行，则这两个平面相交．( )[答案] (1)× (2)× (3)√2．若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为( )A．(1,2,3) B．(1,3,2)C．(2,1,3)D．(3,2,1)A [＝(2,4,6)＝2(1,2,3)．]3．若直线l的方向向量a＝(2,2，－1)，平面α的法向量μ＝(－6,8,4)，则直线l与平面α的位置关系是________.【导学号：46342161】l⊂α或l∥α [∵μ·a＝－12＋16－4＝0，∴μ⊥a，∴l⊂α或l∥α.][合作探究·攻重难]求平
4、面的法向量 如图321，已知ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，试建立适当的坐标系．图321(1)求平面ABCD的一个法向量；(2)求平面SAB的一个法向量；(3)求平面SCD的一个法向量．[解] 以点A为原点，AD、AB、AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0)，D，S(0,0,1)．(1)∵SA⊥平面ABCD，∴＝(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量．(2)∵AD⊥AB，AD⊥SA，∴AD⊥平面SAB，∴＝是平面SAB的一个法向量
5、．(3)在平面SCD中，＝，＝(1,1，－1)．设平面SCD的法向量是n＝(x，y，z)，则n⊥，n⊥，所以得方程组∴令y＝－1，得x＝2，z＝1，∴n＝(2，－1,1)．[规律方法] 1.利用待定系数法求平面法向量的步骤(1)设向量：设平面的法向量为n＝(x，y，z)．(2)选向量：在平面内选取两个不共线向量，.(3)列方程组：由列出方程组．(4)解方程组：(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1)．(6)得结论：得到平面的一个法向量．2．求平面法向量的三个注意点(1)选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量．(2)取特值：在求n的坐标时，可令x，y，
6、z中一个为一特殊值得另两个值，就是平面的一个法向量．(3)注意0：提前假定法向量n＝(x，y，z)的某个坐标为某特定值时一定要注意这个坐标不为0.[跟踪训练]1．正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为棱A1D1、A1B1的中点，在如图322所示的空间直角坐标系中，求：图322(1)平面BDD1B1的一个法向量；(2)平面BDEF的一个法向量．[解] 设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则D(0,0,0)，B(2,2,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，E(1,0,2)．(1)连接AC(图略)，因为AC⊥平面BDD1B1，所以＝(－2,2,0)为平面
7、BDD1B1的一个法向量．(2)＝(2,2,0)，＝(1,0,2)．设平面BDEF的一个法向量为n＝(x，y，z)．∴∴∴令x＝2，得y＝－2，z＝－1.∴n＝(2，－2，－1)即为平面BDEF的一个法向量.利用空间向量证明线线平行 如图323所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为DD1和BB1的中点．求证：四边形AEC1F是平行四边形．图323[解] 以点D为坐标原点，分别以，，为正交基底建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，E，C1(0,1,1)，F，∴＝，＝，＝，＝，∴＝，＝，∴∥，∥，又∵
