2018版高中数学第三章空间向量与立体几何3.2立体几何中的向量方法1空间向量与平行关系学案新人教a版选修

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1、3.2立体几何中的向量方法（1）空间向量与平行关系学习目标　1.掌握空间点、线、面的向量表示.2.理解直线的方向向量与平面的法向量的意义；会用待定系数法求平面的法向量.3.能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行问题.知识点一　直线的方向向量与平面的法向量思考　怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？答案　(1)点：在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P的位置就可以用向量来表示.我们把向量称为点P的位置向量.(2)直线：①直线的方向向量：和这条直线平行或共线的非零向量.②对于直线l上的任一点P，存在实数t，使得＝t，此方程称为直线的向量参

2、数方程.(3)平面：①空间中平面α的位置可以由α内两条相交直线来确定.对于平面α上的任一点P，a，b是平面α内两个不共线向量，则存在有序实数对(x，y)，使得＝xa＋yb.②空间中平面α的位置还可以用垂直于平面的直线的方向向量表示.梳理　(1)用向量表示直线的位置条件直线l上一点A表示直线l方向的向量a(即直线的方向向量)形式在直线l上取＝a，那么对于直线l上任意一点P，一定存在实数t，使得＝t作用定位置点A和向量a可以确定直线的位置11定点可以具体表示出l上的任意一点(2)用向量表示平面的位置①通过平面α上的一个定点O和两个向量a和b来确定：条件平面α内两条相交直线的方向

3、向量a，b和交点O形式对于平面α上任意一点P，存在有序实数对(x，y)使得＝xa＋yb②通过平面α上的一个定点A和法向量来确定：平面的法向量直线l⊥α，直线l的方向向量，叫做平面α的法向量确定平面位置过点A，以向量a为法向量的平面是完全确定的(3)直线的方向向量和平面的法向量直线的方向向量能平移到直线上的非零向量a，叫做直线l的一个方向向量平面的法向量直线l⊥α，取直线l的方向向量n，叫做平面α的法向量(4)空间中平行关系的向量表示设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为μ，v，则线线平行l∥m⇔a∥b⇔a＝kb(k∈R)线面平行l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ＝

4、0面面平行α∥β⇔μ∥v⇔μ＝kv(k∈R)知识点二　利用空间向量处理平行问题思考　(1)设v1＝(a1，b1，c1)，v2＝(a2，b2，c2)分别是直线l1，l2的方向向量.若直线l1∥l2，则向量v1，v2应满足什么关系.(2)若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量，则这两向量满足哪些条件可说明直线与平面平行？(3)用向量法处理空间中两平面平行的关键是什么？答案　(1)由直线方向向量的定义知若直线l1∥l2，则直线l1，l2的方向向量共线，即l1∥l2⇔v1∥v2⇔v1＝λv2(λ∈R).(2)可探究直线的方向向量与平面的法向量是否垂直，进而确定线面是否平行.(3

5、)关键是找到两个平面的法向量，利用法向量平行来说明两平面平行.11梳理　利用空间向量解决平行问题时，第一，建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；第二，通过向量的运算，研究平行问题；第三，把向量问题再转化成相应的立体几何问题，从而得出结论.类型一　求直线的方向向量、平面的法向量例1　如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量.解　因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两

6、垂直.如图，以A为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立空间直角坐标系，则D(0，，0)，E(0，，)，B(1，0，0)，C(1，，0)，于是＝(0，，)，＝(1，，0).设n＝(x，y，z)为平面ACE的法向量，则即所以令y＝－1，则x＝z＝.所以平面ACE的一个法向量为n＝(，－1，).引申探究若本例条件不变，试求直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量.解　如图所示，建立空间直角坐标系，则P(0，0，1)，C(1，，0)，11所以＝(1，，－1)，即直线PC的一个方向向量.设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z).因为D(0，，0)，所以＝(0，，－1).由即所以

7、令y＝1，则z＝.所以平面PCD的一个法向量为n＝(0，1，).反思与感悟　利用待定系数法求平面法向量的步骤(1)设向量：设平面的法向量为n＝(x，y，z).(2)选向量：在平面内选取两个不共线向量，.(3)列方程组：由列出方程组.(4)解方程组：(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1).(6)得结论：得到平面的一个法向量.跟踪训练1　如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形.平面PAB⊥平面ABCD，△PAB是边长为1的正三角形，ABCD是菱形.∠ABC＝60°，E是PC的中点，F是AB的中点，试建