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《第3章 空间向量与立体几何 §3.2 立体几何中向量方法 (1)—— 平行与垂直关系向量证法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、§3.2 立体几何中的向量方法(一)—— 平行与垂直关系的向量证法知识点一 求平面的法向量 已知平面α经过三点A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2，0)，试求平面α的一个法向量．解 ∵A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，＝(1，－2，－4)，＝(1，－2，－4)，设平面α的法向量为n＝(x，y，z)．依题意，应有n·=0，n·=0.即，解得.令y＝1，则x＝2.∴平面α的一个法向量为n＝(2,1,0)．【反思感悟】 用待定系数法求平面的法向量，关键是在平面内找两个不共线向量，列出方程组，取其中一组解(非零向量)即可．在正方体ABCD-A1B1C
2、1D1中，E，F分别是BB1，DC的中点，求证：是平面A1D1F的法向量.证明设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则是平面A1D1F的法向量．证明 设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，E，＝..D1＝(0,0,1)，F，A1(1,0,1)．＝，＝(－1,0,0)．9∵·＝·＝－＝0，·＝0，∴⊥.又A1D1∩D1F＝D1，∴AE⊥平面A1D1F，∴是平面A1D1F的法向量．知识点二 利用向量方法证平行关系 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，求证：B1C∥平面ODC1.证明方法一∵=，∴B∴B1C∥A1
3、D，又A1D面ODC1，∴B1C∥面ODC1.方法二∵=+=+++=+.∴，，共面.又B1C面ODC1，∴B1C∥面ODC1.方法三 建系如图，设正方体的棱长为1，则可得B1(1,1,1)，C(0,1,0)，O，C1(0,1,1)，＝(－1,0，－1)，＝，＝.设平面ODC1的法向量为n＝(x0，y0，z0)，则 得令x0＝1，得y0＝1，z0＝－1，∴n＝(1,1，－1)．9又·n＝－1×1＋0×1＋(－1)×(－1)＝0，∴⊥n，∴B1C∥平面ODC1.【反思感悟】 证明线面平行问题，可以有三个途径，一是在平面ODC1内找一向量与共线；二是
4、说明能利用平面ODC1内的两不共线向量线性表示，三是证明与平面的法向量垂直． 如图所示，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，∠BCF＝∠CEF＝90°，AD＝，EF＝2.求证：AE∥平面DCF.证明 如图所示，以点C为坐标原点，以CB、CF和CD所在直线分别作为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系C—xyz.设AB＝a，BE＝b，CF＝c，则C(0,0,0)，A(，0，a)，B(，0,0)，E(，b,0)，F(0，c,0)．＝(0，b，－a)，＝(，0,0)，＝(0，b,0)，所以·=0，·=0，从而CB⊥AE，CB⊥BE.所以CB⊥平面ABE.因为CB
5、⊥平面DCF，所以平面ABE∥平面DCF.故AE∥平面DCF.知识点三 利用向量方法证明垂直关系 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC的中点，试在棱BB1上找一点M，使得D1M⊥平面EFB1.解 9建立空间直角坐标系D—xyz，设正方体的棱长为2，则E(2,1,0)，F(1,2,0)，D1(0,0,2)，B1(2,2,2)．设M（2，2，m），则=（1，1，0），=（0，1，2），=（2，2，m2）.∵⊥平面EFB1，∴⊥EF，⊥B1E，∴·=0且·=0，于是∴m＝1，故取B1B的中点为M就能满足D1M⊥平面EFB1.【反思感悟】 证
6、明直线与平面垂直有两种方法：(1)用直线与平面垂直的判定定理；(2)证明该直线所在向量与平面的法向量平行． 在正三棱柱ABC—A1B1C1中，B1C⊥A1B.求证：AC1⊥A1B.证明 建立空间直角坐标系C1—xyz，设AB＝a，CC1＝b.则A1，B(0，a，b)，B1(0，a,0)，C(0,0，b)，A，C1(0,0,0)．于是==（0，a，b），＝.∵B1C⊥A1B，∴·＝－＋b2＝0,而·＝a2－a2－b2＝－b2＝0∴⊥9即AC1⊥A1B.课堂小结：1．用待定系数法求平面法向量的步骤：(1)建立适当的坐标系．(2)设平面的法向量为n＝(x，y，z)．(3)求出平面内两
7、个不共线向量的坐标a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)．(4)根据法向量定义建立方程组.(5)解方程组，取其中一解，即得平面的法向量.2．平行关系的常用证法＝λ.证明线面平行可转化为证直线的方向向量和平面的法向量垂直，然后说明直线在平面外，证面面平行可转化证两面的法向量平行．3．垂直关系的常用证法要证线线垂直，可以转化为对应的向量垂直．要证线面垂直，可以转化为证明这条直线与平面内两条相交直线垂直．要证面面垂直，可以转化为证明两个平面的法向量垂
