2019秋高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2 立体几何中的向量方法 第3课时 空间角与空间距离练习(含解析)新人教A版选修2-1

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1、第3课时空间角与空间距离A级 基础巩固一、选择题1.三棱锥ABCD中,平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1,n2,若〈n1,n2〉=,则二面角ABDC的大小为(  )A.  B. C.或 D.或解析:只需搞清二面角的范围是[0,π].答案:C2.直三棱柱ABCA1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BM与AN所成角的余弦值为(  )A.B. C.   D.解析:建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz,设BC=2,则B(0,2,0),A(2,0,0),M(1,1,2),N(1,0,2),所以=(1,-1,2),=

2、(-1,0,2),故与所成角θ的余弦值cosθ===.答案:C3.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E为BC1的中点,则DE与平面BCC1B1所成角的正切值为(  )-9-A.B.C.D.答案:C4.如图所示,M,N是直角梯形AB-CD两腰的中点,DE⊥AB于E,现将△ADE沿DE折起,使二面角ADEB为45°,此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B,则M,N的连线与AE所成的角的大小为(  )A.45°B.90°C.135°D.150°解析:建系如图所示,由题意知△ABE为等腰直角三角形.设CD=1,则BE=1,AB=1,AE=.设BC=DE=2a.则E(

3、0,0,0),A(1,0,1),N(1,a,0),D(0,2a,0),M,所以=,=(-1,0,-1),所以·=·(-1,0,-1)=0.故⊥,从而MN与AE所成的角为90°.答案:B5.如图所示,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,O是底面A1B1C1D1的中心,则O到平面ABC1D1的距离是(  )A.B.C.D.解析:以D为坐标原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则有D1(0,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),A1(1,0,1),C1(0,1,-9-1).因O为A1C1的中点,所以O,=,

4、设平面ABC1D1的法向量为n=(x,y,z),则有即取n=(1,0,1)所以O到平面ABC1D1的距离为d===.答案:B二、填空题6.如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,M是C1C的中点,O是底面ABCD的中点,P是A1B1上的任意点,则直线BM与OP所成的角为__________.解析:建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体棱长为2,则O(1,1,0),P(2,x,2),B(2,2,0),M(0,2,1),=(1,x-1,2),=(-2,0,1).所以·=0,所以直线BM与OP所成的角为.答案:7.在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AA1=2AB

5、,则CD与平面BDC1所成角的正弦值为________.-9-解析:建立如图所示的空间直角坐标系,设AA1=2AB=2,则B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0),C1(0,1,2).故=(1,1,0),=(0,1,2),=(0,1,0),设平面BDC1的法向量为n=(x,y,z),则即令z=1,则y=-2,x=2,即平面BDC1的一个法向量为n=(2,-2,1),设直线CD与平面BDC1所成的角为θ,则sinθ=

6、cos〈n,〉

7、===.答案:8.已知Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB=4,D为AB的中点,沿中线将△ACD折起使得AB=,

8、则二面角ACDB大小为________.答案:120°三、解答题9.已知正方形ABCD的边长为1,PD⊥平面ABCD,且PD=1,E,F分别为AB,BC的中点.(1)求点D到平面PEF的距离;(2)求直线AC到平面PEF的距离.-9-解:(1)建立以D为坐标原点,DA,DC,DP分别为x轴,y轴,z轴的空间直角坐标系,如图所示.则P(0,0,1),A(1,0,0),C(0,1,0),E,F,=,=,设平面PEF的法向量n=(x,y,z),则n·=0,且n·=0,所以令x=2,则y=2,z=3,所以n=(2,2,3),所以点D到平面PEF的距离为d===,因此,点D到

9、平面PEF的距离为.(2)因为=,所以点A到平面PEF的距离为d===,所以AC到平面PEF的距离为.10.如图所示,BD⊥平面ABC,AE∥BD,AB=BC=CA=BD=2AE=2,F为CD的中点.(1)求证:EF⊥平面BCD;(2)求点A到平面CDE的距离;-9-(3)求二面角CDEA的余弦值.(1)证明:取BC的中点G,连接AG,FG,因为F,G分别为DC,BC的中点,所以FG∥BD且FG=BD.又AE∥BD且AE=BD,所以AE∥FG且AE=FG,所以四边形EFGA为平行四边形,则EF∥AG.因为BD⊥平面ABC,所以BD⊥AG.因为G为BC的中点,且A

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