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《2019-2020版高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2 立体几何中的向量方法 第3课时 利用向量求空间角练习（含解析）新人教A版选修2-1》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第3课时 利用向量求空间角课后篇巩固提升基础巩固1.若平面α的一个法向量为n1=(1,0,1),平面β的一个法向量是n2=(-3,1,3),则平面α与β所成的角等于( )A.30°B.45°C.60°D.90°解析因为n1·n2=(1,0,1)·(-3,1,3)=0,所以α⊥β,即平面α与β所成的角等于90°.答案D2.已知A(0,1,1),B(2,-1,0),C(3,5,7),D(1,2,4),则直线AB和直线CD所成角的余弦值为( )A.52266B.-52266C.52222D.-52222解析AB=(2,-2,-1
2、),CD=(-2,-3,-3),而cos?AB,CD?=AB·CD
3、AB
4、
5、CD
6、=53×22=52266,故直线AB和CD所成角的余弦值为52266.答案A3.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AA1=3,AB=AC=BC=2,则AA1与平面AB1C1所成角的大小为( )A.30°B.45°C.60°D.90°解析取AB的中点D,连接CD,分别以AD,CD,DE所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,可得A(1,0,0),A1(1,0,3),故AA1=(0,0,3),而B1(-1,0,3),C
7、1(0,3,3),设平面AB1C1的法向量为m=(a,b,c),10根据m·AB1=0,m·AC1=0,解得m=(3,-3,2),cos=m·AA1
8、m
9、
10、AA1
11、=12.故AA1与平面AB1C1所成角的大小为30°,故选A.答案A4.若二面角α-l-β的大小为120°,则平面α与平面β的法向量的夹角为( )A.120°B.60°C.120°或60°D.30°或150°解析二面角为120°时,其法向量的夹角可能是60°,也可能是120°.答案C5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为AD,C1D1
12、的中点,O为侧面BCC1B1的中心,则异面直线MN与OD1所成角的余弦值为( )A.16B.14C.-16D.-14解析如图,以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为2,则M(1,0,0),N(0,1,2),O(1,2,1),D1(0,0,2),∴MN=(-1,1,2),OD1=(-1,-2,1).则cos=MN·OD1
13、MN
14、
15、OD1
16、=16×6=16.∴异面直线MN与OD1所成角的余弦值为16,故选A.答案A6.若两个平面α,β的法向量分别是u=(
17、1,0,1),v=(-1,1,0),则这两个平面所成的锐二面角的度数是 . 解析设这两个平面所成的锐二面角为θ,则cosθ=
18、u·v
19、
20、u
21、
22、v
23、=
24、-1
25、2×2=12,所以锐二面角的度数是60°.答案60°7.已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,BC=2,AA1=4,E是侧棱CC1的中点,则直线AE与平面A1ED所成角的正弦值为 . 解析在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,BC=2,AA1=4,E是侧棱CC1的中点,以D为原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴建立空间
26、直角坐标系,A(2,0,0),E(0,1,2),A1(2,0,4),D(0,0,0),EA=(2,-1,-2),DA1=(2,0,4),DE=(0,1,2),设平面A1ED的法向量为n=(x,y,z),则n·DA110=2x+4z=0,n·DE=y+2z=0,取z=1,得n=(-2,-2,1),设直线AE与平面A1ED所成角为θ,则sinθ=cos=EA·n
27、EA
28、
29、n
30、=49×9=49.∴直线AE与平面A1ED所成角的正弦值为49.答案498.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为BB1的中点,则平面A1E
31、D与平面ABCD所成的二面角的余弦值为 . 解析建立空间直角坐标系如图,设正方体的棱长为2,则D(2,0,0),A1(0,0,2),E(0,2,1),则A1D=(2,0,-2),A1E=(0,2,-1).设平面A1ED的法向量为n=(x,y,z),则n·A1D=0,n·A1E=0.则2x-2z=0,2y-z=0,即x=z,z=2y.令y=1,得n=(2,1,2).易知平面ABCD的法向量为m=(0,0,1),则cos=n·m
32、n
33、
34、m
35、=23.答案239.10如图所示,四边形ABCD是直角梯形,∠ABC=∠B
36、AD=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=2,AD=1.(1)求SC与平面ASD所成角的余弦值;(2)求平面SAB和平面SCD所成角的余弦值.解(1)建立如图所示的空间直角坐标系,S(0,0,2),C(2,2,0),D(1,0,0),SC=(2,2,-2),∵AB⊥
