第3章空间向量与立体几何 §3.2 立体几何中的向量方法 （三）——　利用向量方法求距离

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1、§3.2　立体几何中的向量方法(三)——　利用向量方法求距离知识点一　求两点间的距离　已知矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，沿对角线AC折叠，使面ABC与面ADC垂直，求BD间的距离．解　方法一　过D和B分别作DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，则由已知条件可知AC＝5，∴DE＝＝，BF＝＝.∵AE＝＝＝CF，∴EF＝5－2×＝，∴＝＋＋.

2、

3、2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·.∵面ADC⊥面ABC，而DE⊥AC，∴DE⊥面ABC，∴DE⊥BF,⊥,

4、

5、2＝2＋2＋2＝＋＋＝，∴

6、

7、＝.故B、D间距离是.方法二　同方法一．过E

8、作FB的平行线EP，以E为坐标原点，以EP，EC，ED所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系如图．则由方法一知DE＝FB＝，EF＝，∴D，B，∴＝，

9、

10、＝＝.【反思感悟】　求两点间的距离或某线段的长度的方法：(1)把此线段用向量表示，然后用

11、a

12、2＝a·a通过向量运算去求

13、a

14、.(2)建立空间坐标系，利用空间两点间的距离公式d＝求解．　如图所示，正方形ABCD，ABEF的边长都是1，而且平面ABCD⊥平面ABEF，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a(0＜a＜)．(1)求MN的长；(2)当a为何值时，MN的长最小

15、．解　(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，F(1,1,0)，C(0,0,1)∵CM＝BN＝a(0

16、＝(0，a，a－1)，∴

17、

18、＝.(2)由(1)知MN＝，所以，当a＝时，MN＝.即M、N分别移到AC、BF的中点时，MN的长最小，最小值为.知识点二　求异面直线间的距离　如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，E为棱CC1上异于C、C1的一点，EA⊥EB1，已知AB＝，BB1＝2，BC＝1，∠BCC1＝，

19、求异面直线AB与EB1的距离．解.以B为原点，、所在直线分别为y、z轴，如图建立空间直角坐标系．由于BC＝1，BB1＝2，AB＝，∠BCC1＝，在三棱柱ABC—A1B1C1中有B(0,0,0)，A(0,0，)，B1(0,2,0)，设E()，由EA⊥EB1，得·=0，即·＝0，得＝0，即a＝或a＝(舍去)，故E.设n为异面直线AB与EB1公垂线的方向向量，由题意可设n＝(x，y,0)，则有n·=0.易得n＝(，1,0)，∴两异面直线的距离d＝＝＝1.【反思感悟】　求异面直线的距离，一般不要求作公垂线，若公垂线存在，则直接求解即可

20、；若不存在，可利用两异面直线的法向量求解．　如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，M、N分别为DC、BB1的中点，求异面直线MN与A1B的距离．解　以A为原点，AD、AB、AA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A1(0,0,2)，B(0,4,0)，M(3,2,0)，N(0,4,1)．∴

21、＝(－3,2,1)，＝(0,4，－2)．设MN、A1B公垂线的方向向量为n＝(x，y，z)，则即.令y＝1，则z＝2，x＝，即n＝，

22、n

23、＝.＝(－3，－2,2)在n上的射影的长度为d＝,故异面

24、直线MN与A1B的距离为.知识点三　求点到平面的距离　在三棱锥B—ACD中，平面ABD⊥平面ACD，若棱长AC＝CD＝AD＝AB＝1，且∠BAD＝30°，求点D到平面ABC的距离．解　如图所示，以AD的中点O为原点，以OD、OC所在直线为x轴、y轴，过O作OM⊥面ACD交AB于M，以直线OM为z轴建立空间直角坐标系，则A，B，C，D，∴=，＝，＝，设n＝(x，y，z)为平面ABC的一个法向量，则，∴y＝－x，z＝－x，可取n＝(－，1,3)，代入d＝，得d＝＝，即点D到平面ABC的距离是.【反思感悟】　利用向量法求点面距，只需求出平面

25、的一个法向量和该点与平面内任一点连线表示的向量，代入公式求解即可．　正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为4，M、N、E、F分别为A1D1、A1B1、C1D1、B1C1的中点，求平面AMN平面与EFBD间的距离.解　如图所示，建立空间直角坐标系D—xyz，则A(4,0,0)，M(2,0,4)，D(0,0,0)，B(4,4,0)，E(0,2,4)，F(2,4,4)，N(4,2,4)，从而＝(2,2,0)，＝(2,2,0)，＝(－2,0,4)，＝(－2,0,4)，∴＝，＝，∴EF∥MN，AM∥BF，∴平面AMN∥平面EFBD.设n＝(x

26、，y，z)是平面AMN的法向量，从而解得.取z＝1，得n＝(2，－2,1)，由于在n上的投影为＝＝－.∴两平行平面间的距离d＝＝.课堂小结：1．求空间中两点A，B的距离时，当不好建系时利用

27、AB

28、＝

29、

30、＝来求．2．两异面