第3章空间向量与立体几何 §3.2 立体几何中的向量方法 (三)—— 利用向量方法求距离

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1、§3.2 立体几何中的向量方法(三)—— 利用向量方法求距离知识点一 求两点间的距离 已知矩形ABCD中,AB=4,AD=3,沿对角线AC折叠,使面ABC与面ADC垂直,求BD间的距离.解 方法一 过D和B分别作DE⊥AC于E,BF⊥AC于F,则由已知条件可知AC=5,∴DE==,BF==.∵AE===CF,∴EF=5-2×=,∴=++.

2、

3、2=(++)2=2+2+2+2·+2·+2·.∵面ADC⊥面ABC,而DE⊥AC,∴DE⊥面ABC,∴DE⊥BF,⊥,

4、

5、2=2+2+2=++=,∴

6、

7、=.故B、D间距离是.方法二 同方法一.过E

8、作FB的平行线EP,以E为坐标原点,以EP,EC,ED所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系如图.则由方法一知DE=FB=,EF=,∴D,B,∴=,

9、

10、==.【反思感悟】 求两点间的距离或某线段的长度的方法:(1)把此线段用向量表示,然后用

11、a

12、2=a·a通过向量运算去求

13、a

14、.(2)建立空间坐标系,利用空间两点间的距离公式d=求解. 如图所示,正方形ABCD,ABEF的边长都是1,而且平面ABCD⊥平面ABEF,点M在AC上移动,点N在BF上移动,若CM=BN=a(0<a<).(1)求MN的长;(2)当a为何值时,MN的长最小

15、.解 (1)建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,0),F(1,1,0),C(0,0,1)∵CM=BN=a(0

16、=(0,a,a-1),∴

17、

18、=.(2)由(1)知MN=,所以,当a=时,MN=.即M、N分别移到AC、BF的中点时,MN的长最小,最小值为.知识点二 求异面直线间的距离 如图所示,在三棱柱ABC—A1B1C1中,AB⊥侧面BB1C1C,E为棱CC1上异于C、C1的一点,EA⊥EB1,已知AB=,BB1=2,BC=1,∠BCC1=,

19、求异面直线AB与EB1的距离.解.以B为原点,、所在直线分别为y、z轴,如图建立空间直角坐标系.由于BC=1,BB1=2,AB=,∠BCC1=,在三棱柱ABC—A1B1C1中有B(0,0,0),A(0,0,),B1(0,2,0),设E(),由EA⊥EB1,得·=0,即·=0,得=0,即a=或a=(舍去),故E.设n为异面直线AB与EB1公垂线的方向向量,由题意可设n=(x,y,0),则有n·=0.易得n=(,1,0),∴两异面直线的距离d===1.【反思感悟】 求异面直线的距离,一般不要求作公垂线,若公垂线存在,则直接求解即可

20、;若不存在,可利用两异面直线的法向量求解. 如图所示,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,AB=4,AD=3,AA1=2,M、N分别为DC、BB1的中点,求异面直线MN与A1B的距离.解 以A为原点,AD、AB、AA1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则A1(0,0,2),B(0,4,0),M(3,2,0),N(0,4,1).∴

21、=(-3,2,1),=(0,4,-2).设MN、A1B公垂线的方向向量为n=(x,y,z),则即.令y=1,则z=2,x=,即n=,

22、n

23、=.=(-3,-2,2)在n上的射影的长度为d=,故异面

24、直线MN与A1B的距离为.知识点三 求点到平面的距离 在三棱锥B—ACD中,平面ABD⊥平面ACD,若棱长AC=CD=AD=AB=1,且∠BAD=30°,求点D到平面ABC的距离.解 如图所示,以AD的中点O为原点,以OD、OC所在直线为x轴、y轴,过O作OM⊥面ACD交AB于M,以直线OM为z轴建立空间直角坐标系,则A,B,C,D,∴=,=,=,设n=(x,y,z)为平面ABC的一个法向量,则,∴y=-x,z=-x,可取n=(-,1,3),代入d=,得d==,即点D到平面ABC的距离是.【反思感悟】 利用向量法求点面距,只需求出平面

25、的一个法向量和该点与平面内任一点连线表示的向量,代入公式求解即可. 正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为4,M、N、E、F分别为A1D1、A1B1、C1D1、B1C1的中点,求平面AMN平面与EFBD间的距离.解 如图所示,建立空间直角坐标系D—xyz,则A(4,0,0),M(2,0,4),D(0,0,0),B(4,4,0),E(0,2,4),F(2,4,4),N(4,2,4),从而=(2,2,0),=(2,2,0),=(-2,0,4),=(-2,0,4),∴=,=,∴EF∥MN,AM∥BF,∴平面AMN∥平面EFBD.设n=(x

26、,y,z)是平面AMN的法向量,从而解得.取z=1,得n=(2,-2,1),由于在n上的投影为==-.∴两平行平面间的距离d==.课堂小结:1.求空间中两点A,B的距离时,当不好建系时利用

27、AB

28、=

29、

30、=来求.2.两异面

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