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《第3章 空间向量与立体几何 §3.2 立体几何中的向量方法 (二)—— 利用向量方法求角》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、§3.2 立体几何中的向量方法(二)—— 利用向量方法求角知识点一 求异面直线所成的角 已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的所有棱长都是1,且∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°,E、F分别为A1B1与BB1的中点,求异面直线BE与CF所成角的余弦值.解 如图所示,解如图所示,设=a,=b,=c.则
2、a
3、=
4、b
5、=
6、c
7、=1,〈a,b〉=〈b,c〉=〈a,c〉=60°,∴a·b=b·c=a·c=,而=+=a+c.=+=b+c,∴
8、
9、==,
10、
11、=.∴·=·=a·b-a·c
12、-b·c+c2=,cos〈,〉==,∴异面直线BE与CF夹角的余弦值是.【反思感悟】 在解决立体几何中两异面直线所成角的问题时,首选向量法,利用向量求解.若能构建空间直角坐标系,求解则更为简捷方便. 正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F分别是A1D1、A1C1的中点.求:异面直线AE与CF所成角的余弦值.解 不妨设正方体棱长为2,分别取DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系,则A(2,0,0)、C(0,2,0)、E(1,0,2)、F(1,1,2),由=(-1,0,2),=(
13、1,-1,2),得
14、
15、=,
16、
17、=.∴·=-1+0+4=3.又·=
18、
19、·
20、
21、·cos〈,〉=cos〈,〉,∴cos〈,〉=,∴异面直线AE与CF所成角的余弦值为知识点二 求线面角 正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为a,侧棱长为a,求AC1与侧面ABB1A1所成的角.解 方法一 建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(0,a,0),A1(0,0,a),C1,取A1B1中点M,则M,连结AM、MC1,有=,=(0,a,0),=(0,0,a),由于·=0,·=0,∴
22、MC1⊥面ABB1A1.∴∠C1AM是AC1与侧面A1B所成的角θ.∵=,=,∴·=0++2a2=.而
23、
24、==a,
25、
26、==a,∴cos〈,〉==.∴〈,〉=30°,即AC1与侧面AB1所成的角为30°.方法二 (法向量法)(接方法一)=(0,0,a),=(0,a,0),设侧面A1B的法向量n=(λ,x,y).∴n·=0且n·=0∴ax=0,且ay=0.∴x=y=0,故n=(λ,0,0).∵=,∴cos〈,n〉=.设所求线面角为θ,则sinθ=
27、cos〈.,n〉
28、=,θ=30°.【反思感悟】】 充分利用图形
29、的几何特征建立适当的空间直角坐标系,再用向量有关知识求解线面角.方法二给出了一般的方法,先求平面法向量与斜线夹角,再进行换算. 如图所示,已知直角梯形ABCD,其中AB=BC=2AD,AS⊥平面ABCD,AD∥BC,AB⊥BC,且AS=AB.求直线SC与底面ABCD的夹角θ的余弦.解 由题设条件知,可建立以AD为x轴,AB为y轴,AS为z轴的空间直角坐标系(如图所示).设AB=1,则A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),D,S(0,0,1).∴=(0,0,1),=(-1,-1,1).是底面的法向
30、量,它与已知向量是底面的法向量,它与已知向量的夹角β=90°-θ,故有sinθ=cosβ===,于是cosθ==.知识点三 求二面角 如图,四棱锥P-ABCD中,PB⊥底面ABCD,CD⊥PD,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,AB⊥BC,AB=AD=PB=3.点E在棱PA上,且PE=2EA.求二面角A-BE-D的余弦值.解 以B为原点,以BC、BA、BP分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.设平面EBD的一个法向量为n1=(x,y,1),因为=(0,2,1),=(3,3,0),由得,所以,于是n1
31、=(,-,1).又因为平面ABE的一个法向量为n2=(1,0,0),所以,cos〈n1,n2〉==.所以,二面角A-BE-D的余弦值为.【反思感悟】 几何法求二面角,往往需要作出平面角,这是几何中一大难点,而用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角,只需求出平面的法向量,经过简单运算即可,从而体现了空间向量的巨大作用. 若PA⊥平面ABC,AC⊥BC,PA=AC=1,BC=,求二面角A—PB—C的余弦值.解 如图所示,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(,1,0),C(0,1,0),P(0,0,1),=
32、(0,0,1),=(,0,0),=(0,-1,1),设平面PAB的法向量为m=(x,y,z)则,令x=1,则m=(1,-,0).设平面PBC的法向量为n=(x′,y′,z′),则.令y′=-1,则n=(0,-1,-1).∴cos〈m,n〉==.∴二面角A—PB—C的余弦值为.课堂小结:1.两条异面直线所成角的求法(1)向量求法:设直线a、b的方向向量为a、b,其夹角为φ,则有