第3章空间向量与立体几何§3.2立体几何中的向量方法（二）——　利用向量方法求角_设计

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1、§3.2　立体几何中的向量方法(二)——　利用向量方法求角知识点一　求异面直线所成的角　已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的所有棱长都是1，且∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，E、F分别为A1B1与BB1的中点，求异面直线BE与CF所成角的余弦值．解　如图所示，解如图所示，设=a，=b，=c.则

2、a

3、=

4、b

5、=

6、c

7、=1，〈a,b〉=〈b,c〉=〈a,c〉=60°,∴a·b=b·c=a·c=，而=+=a+c.=+=b+c,∴

8、

9、＝＝，

10、

11、＝.∴·＝·＝a·b－a·c－b·c＋c2＝，cos〈，〉＝=,∴异面直线BE与CF夹角的余弦值是.【反思

12、感悟】　在解决立体几何中两异面直线所成角的问题时，首选向量法，利用向量求解．若能构建空间直角坐标系，求解则更为简捷方便.　正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是A1D1、A1C1的中点．求：异面直线AE与CF所成角的余弦值．解　不妨设正方体棱长为2，分别取DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则A(2,0,0)、C(0,2,0)、E(1,0,2)、F(1,1,2)，由＝(－1,0,2)，＝(1，－1,2)，得

13、

14、＝，

15、

16、＝.∴·＝－1＋0＋4＝3.又·=

17、

18、·

19、

20、·cos〈,〉=cos〈,〉,∴cos〈,〉=,∴异面直

21、线AE与CF所成角的余弦值为知识点二　求线面角　正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，求AC1与侧面ABB1A1所成的角．解　方法一　建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(0，a,0)，A1(0,0，a)，C1，取A1B1中点M，则M，连结AM、MC1，有＝，＝(0，a,0)，＝(0,0，a)，由于·=0，·=0，∴MC1⊥面ABB1A1.∴∠C1AM是AC1与侧面A1B所成的角θ.∵=,＝，∴·＝0＋＋2a2＝.而

22、

23、＝＝a，

24、

25、＝＝a，∴cos〈,〉＝＝.∴〈，〉＝30°，即AC1与侧面AB1所成的角为30°.方法二　(法向量法)(接方

26、法一)＝(0,0，a)，＝(0，a,0)，设侧面A1B的法向量n＝(λ，x，y)．∴n·＝0且n·＝0∴ax＝0，且ay＝0.∴x＝y＝0，故n＝(λ，0,0)．∵＝，∴cos〈,n〉＝.设所求线面角为θ，则sinθ＝

27、cos〈.，n〉

28、＝，θ＝30°.【反思感悟】】　充分利用图形的几何特征建立适当的空间直角坐标系，再用向量有关知识求解线面角．方法二给出了一般的方法，先求平面法向量与斜线夹角，再进行换算．　如图所示，已知直角梯形ABCD，其中AB＝BC＝2AD，AS⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，且AS＝AB.求直线SC与底面ABCD的夹角θ的余弦．解　由题设条件知，可建立以AD

29、为x轴，AB为y轴，AS为z轴的空间直角坐标系(如图所示)．设AB＝1，则A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0)，D，S(0,0,1)．∴＝(0,0,1)，＝(－1，－1,1)．是底面的法向量，它与已知向量是底面的法向量，它与已知向量的夹角β＝90°－θ，故有sinθ＝cosβ＝＝＝，于是cosθ＝＝.知识点三　求二面角　如图，四棱锥P－ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝AD＝PB＝3.点E在棱PA上，且PE＝2EA.求二面角A－BE－D的余弦值．解　以B为原点，以BC、BA、BP分别为x，y，z轴建立如图所示

30、的空间直角坐标系．设平面EBD的一个法向量为n1＝(x，y,1)，因为＝(0,2,1)，＝(3,3,0)，由得，所以，于是n1＝(，－，1)．又因为平面ABE的一个法向量为n2＝(1,0,0)，所以，cos〈n1，n2〉＝＝.所以，二面角A－BE－D的余弦值为.【反思感悟】　几何法求二面角，往往需要作出平面角，这是几何中一大难点，而用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角，只需求出平面的法向量，经过简单运算即可，从而体现了空间向量的巨大作用．　若PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC＝，求二面角A—PB—C的余弦值．解　如图所示，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(，

31、1,0)，C(0,1,0)，P(0,0,1)，＝(0,0,1)，＝(，0,0)，＝(0，－1,1)，设平面PAB的法向量为m＝(x，y，z)则，令x＝1，则m＝(1，－，0)．设平面PBC的法向量为n＝(x′，y′，z′)，则.令y′＝－1，则n＝(0，－1，－1)．∴cos〈m，n〉＝＝.∴二面角A—PB—C的余弦值为.课堂小结：1．两条异面直线所成角的求法(1)向量求法：设直线a、b的方向向量为a、b，其夹角为φ，则有