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《2020_2021学年高中数学第三章空间向量与立体几何3.2第2课时利用向量证明空间中的垂直关系课时跟踪训练含解析新人教A版选修2_1.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、利用向量证明空间中的垂直关系[A组 学业达标]1．设直线l1的方向向量为a＝(2,1，－2)，直线l2的方向向量为b＝(2,2，m)，若l1⊥l2，则m等于( )A．1 B．－2C．－3D．3解析：l1⊥l2⇒a⊥b⇒2×2＋1×2＋(－2)×m＝0.∴m＝3.答案：D2．已知三条直线l1，l2，l3的一个方向向量分别为a＝(4，－1,0)，b＝(1,4,5)，c＝(－3,12，－9)，则( )A．l1⊥l2，但l1与l3不垂直B．l1⊥l3，但l1与l2不垂直C．l2⊥l3，但l2与l1不垂直D．l1，l2，l3两两互相垂直解析：∵a·b＝(4，－1,0)
2、·(1,4,5)＝4－4＋0＝0，a·c＝(4，－1,0)·(－3,12，－9)＝－12－12＝－24≠0.b·c＝(1,4,5)·(－3,12，－9)＝－3＋48－45＝0，∴a⊥b，a与c不垂直，b⊥c.∴l1⊥l2，l2⊥l3，但l1不垂直于l3.答案：A3．已知直线l1的方向向量a＝(2,4，x)，直线l2的方向向量b＝(2，y,2)，若
3、a
4、＝6，且a⊥b，则x＋y＝( )A．－3或1B．3或－1C．－3D．1解析：
5、a
6、＝＝6，∴x＝±4，又∵a⊥b，∴a·b＝2×2＋4y＋2x＝0，∴y＝－1－x，∴当x＝4时，y＝－3，当x＝－4时，y＝1，∴x＋y＝1或
7、－3.答案：A4．已知平面α上的两个向量a＝(2,3,1)，b＝(5,6,4)，则平面α的一个法向量为( )A．(1，－1,1)B．(2，－1,1)C．(－2,1,1)D．(－1,1，－1)解析：显然a与b不平行，设平面α的法向量为n＝(x，y，z)，则∴令z＝1，得x＝－2，y＝1，∴n＝(－2,1,1)．答案：C5．平面α，β的法向量分别为m＝(1,2，－2)，n＝(－2，－4，k)，若α⊥β，则k＝( )A．－3B．3C．－5D．5解析：由α⊥β知，m·n＝0.∴－2－8－2k＝0，解得k＝－5.答案：C6．下列命题中：①若u，v分别是两个不同的平面α，β的法向量
8、，则u∥v⇒α∥β；②若u，v分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇒u∥v；③若u是平面α的法向量且向量a与α共面，则u·a＝0；④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直．其中正确的命题序号是________．解析：①正确；②正确；③，∵u⊥α，a所在直线与平面α平行或在平面α内，∴u⊥a.∴u·a＝0，③正确；④正确．答案：①②③④7．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥.其中正确的是________(填序号)．解析：由于
9、·＝－1×2＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0，·＝4×(－1)＋2×2＋0×(－1)＝0，所以①②③正确．答案：①②③8．在直角坐标系Oxyz中，已知点P(2cosx＋1,2cos2x＋2,0)和点Q(cosx，－1,3)，其中x∈[0，π]，若直线OP与直线OQ垂直，则x的值为________．解析：由OP⊥OQ，得·＝0.即(2cosx＋1)·cosx＋(2cos2x＋2)·(－1)＝0.∴cosx＝0或cosx＝.∵x∈[0，π]，∴x＝或x＝.答案：或9.如图所示，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，垂足为A，AB⊥AD于A，AC⊥CD于C，∠ABC＝6
10、0°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．求证AE⊥CD.证明：以A为坐标原点建立空间直角坐标系，如图，设PA＝AB＝BC＝1，则A(0,0,0)，P(0,0,1)．∵∠ABC＝60°，∴△ABC为正三角形．∴C，E.设D(0，y,0)，则＝，＝.由AC⊥CD得·＝0，即y＝，则D，∴＝.又＝，∴·＝－×＋×＝0，∴⊥，即AE⊥CD.10.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，E，F分别为A1C1和BC的中点．求证：(1)平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)C1F∥平面ABE.证明：如图，以B为坐标原点，分别以BC，BA，BB1所在直线的x轴、y轴
11、、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．设BC＝a，AB＝b，BB1＝c，则B(0,0,0)，A(0，b,0)，C1(a,0，c)，F，E.(1)＝(0，－b,0)，＝.设平面ABE的一个法向量为n＝(x，y，z)，则即令x＝2，则y＝0，z＝－，即n＝.又平面B1BCC1的一个法向量为n1＝(0,1,0)．∵n1·n＝2×0＋0×1＋×0＝0，∴平面ABE⊥平面B1BCC1.(2)＝，且n·＝0，∴∥平面ABE.又∵C1F⊄平面ABE，∴C1F∥平面ABE.[B组 能力提升]11.在三棱锥PABC中，CP，CA，CB
