2021年新高考数学二轮复习讲义+分层训练02 三角恒等变换与解三角形（解析版）.doc

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1、02三角恒等变换与解三角形A组考点专练一、选择题1．若sinα＝，则cos2α等于(　　)A.B.C．－D．－【答案】B【解析】∵sinα＝，∴cos2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝.2．tan70°＋tan50°－tan70°tan50°的值为(　　)A.B.C．－D．－【答案】D【解析】因为tan120°＝＝－，即tan70°＋tan50°－tan70°tan50°＝－.3.已知sinα＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则β等于(　　)A.B.C.D.【答案】C【解析】　由α，β为锐角，则－<α－β<，由sin(α－β)＝－，得cos(α－β)＝，又sinα＝，所以cosα

2、＝，所以sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝×－×＝.所以β＝.4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，acosB＋bcosA＝2ccosC，c＝，且△ABC的面积为，则△ABC的周长为(　　)A．1＋B．2＋C．4＋D．5＋【答案】D【解析】在△ABC中，acosB＋bcosA＝2ccosC，则sinAcosB＋sinBcosA＝2sinCcosC，即sin(A＋B)＝2sinCcosC，∵sin(A＋B)＝sinC≠0，∴cosC＝，∴C＝，由余弦定理可得，a2＋b2－c2＝ab，即(a＋b)2－3ab＝c2＝7，又S＝

3、absinC＝ab＝，∴ab＝6，∴(a＋b)2＝7＋3ab＝25，a＋b＝5，∴△ABC的周长为a＋b＋c＝5＋.5.(多选题)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a∶b∶c＝4∶5∶6，则下列结论正确的是(　　)A.sinA∶sinB∶sinC＝4∶5∶6B.△ABC是钝角三角形C.△ABC的最大内角是最小内角的2倍D.若c＝6，则△ABC的外接圆的半径为【答案】ACD【解析】由a∶b∶c＝4∶5∶6，可设a＝4x，b＝5x，c＝6x，x>0.根据正弦定理可知sinA∶sinB∶sinC＝4∶5∶6，A正确.由c为最大边，cosC＝＝＝>0，即C为锐角，得△ABC为

4、锐角三角形，B不正确.a为最小边，cosA＝＝＝，则cos2A＝2cos2A－1＝2×－1＝＝cosC.由2A，C∈(0，π)，可得2A＝C，C正确.若c＝6，则2R＝＝＝(R为△ABC的外接圆的半径)，则△ABC的外接圆的半径为，D正确.故选ACD.二、填空题6.(2020·江苏卷)已知sin2＝，则sin2α的值是________.【答案】　【解析】　因为sin2＝，所以＝，即＝，所以sin2α＝.7.(2019·全国Ⅱ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝，则△ABC的面积为________.【答案】　6【解析】　由余弦定理得b2＝a2＋c2－2

5、accosB.又∵b＝6，a＝2c，B＝，∴36＝4c2＋c2－2×2c2×，∴c＝2，c＝－2(舍去)，∴a＝4，∴S△ABC＝acsinB＝×4×2×＝6.8.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，bcosC与ccosB的等差中项为acosB，则B＝________；若a＋c＝5，△ABC的面积S＝，则b＝________.【答案】　　【解析】　因为bcosC与ccosB的等差中项为acosB，所以2acosB＝bcosB＋ccosB.由正弦定理可得2sinAcosB＝sinBcosC＋sinCcosB，即2sinAcosB＝sin(B＋C)＝sin(π－A)，即2sinAc

6、osB＝sinA.因为A∈(0，π)，所以sinA>0，所以cosB＝.因为B∈(0，π)，所以B＝.因为△ABC的面积S＝，所以acsinB＝，所以ac＝4.由余弦定理，得b＝＝＝＝.三、解答题9.在①cosA＝，cosC＝；②csinC＝sinA＋bsinB，B＝60°；③c＝2，cosA＝三个条件中任选一个填至横线上，并加以解答.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，________，求△ABC的面积S.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)【解析】选①.∵cosA＝，cosC＝，∴sinA＝，sinC＝，∴sinB＝sin(A＋C)＝sinAco

7、sC＋cosAsinC＝×＋×＝.由正弦定理，得b＝＝＝，∴S＝absinC＝×3××＝.选②.∵csinC＝sinA＋bsinB，∴结合正弦定理，得c2＝a＋b2.∵a＝3，∴b2＝c2－3.又∵B＝60°，∴b2＝c2＋9－2×3×c×＝c2－3，∴c＝4，∴S＝acsinB＝3.选③.∵c＝2，cosA＝，∴结合余弦定理，得＝，即b2－－5＝0，解得b＝或b＝－2(舍去).又∵sinA＝＝，∴S＝bcsinA＝××