最新高考数学二轮复习学案：三角恒等变换与解三角形 含解析.doc

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1、第2讲　三角恒等变换与解三角形年份卷别考查内容及考题位置命题分析2018卷Ⅰ利用正、余弦定理求边或角·T171.高考对此部分的考查一般以“二小”或“一大”的命题形式出现．2．若无解答题，一般在选择题或填空题各有一题，主要考查三角恒等变换、解三角形，难度一般，一般出现在第4～9题或第13～15题位置上．3．若以解答题命题形式出现，主要考查三角函数与解三角形的综合问题，一般出现在解答题第17题位置上，难度中等.卷Ⅱ利用余弦定理求边长·T6　三角恒等变换·T15卷Ⅲ倍角公式·T4　三角形的面积公式·T92017卷Ⅰ正、余弦定理、

2、三角形的面积公式及两角和的余弦公式·T17卷Ⅱ余弦定理、三角恒等变换及三角形的面积公式·T17卷Ⅲ余弦定理、三角形的面积公式·T172016卷Ⅰ正、余弦定理、两角和的正弦公式·T17卷Ⅱ诱导公式、三角恒等变换、给值求值问题·T9正弦定理的应用、诱导公式·T13卷Ⅲ正、余弦定理解三角形·T8三角恒等变换与求值(基础型)两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ.(2)cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ.(3)tan(α±β)＝.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1

3、)sin2α＝2sinαcosα.(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.(3)tan2α＝.三角恒等变换的“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan45°等．(2)项的分拆与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等．(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次．(4)弦、切互化：一般是切化弦．[考法全练]1．已知α∈，tanα＝2，则cos＝________．解析：因为α∈，

4、tanα＝2，所以sinα＝，cosα＝，所以cos＝cosαcos＋sinαsin＝×＝.答案：2．已知cosα＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈，则cos(α－β)＝________．解析：因为α∈，所以2α∈(0，π)．因为cosα＝，所以cos2α＝2cos2α－1＝－，所以sin2α＝＝，又α，β∈，所以α＋β∈(0，π)，所以sin(α＋β)＝＝，所以cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)＝×＋×＝.答案：3．已知sinβ＝，且sin(α＋β)＝c

5、osα，则tan(α＋β)＝________．解析：因为sinβ＝，且<β<π，所以cosβ＝－，tanβ＝－.因为sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝cosα，所以tanα＝－，所以tan(α＋β)＝＝－2.答案：－2正、余弦定理在解三角形中的应用(综合型)正弦定理及其变形在△ABC中，＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径)．变形：a＝2RsinA，sinA＝，a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC等．余弦定理及其变形在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA；变形：b2＋c2－a2＝2bccos

6、A，cosA＝.三角形面积公式S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB.[典型例题]命题角度一　求解三角形中的角已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bcosC＋bsinC＝a.(1)求角B的大小；(2)若BC边上的高等于a，求cosA的值．【解】　(1)由bcosC＋bsinC＝a，得sinBcosC＋sinBsinC＝sinA.因为A＋B＋C＝π，所以sinBcosC＋sinBsinC＝sin(B＋C)，即sinBcosC＋sinBsinC＝sinBcosC＋cosBsinC，因为sinC

7、≠0，所以sinB＝cosB.因为B∈(0，π)，所以B＝.(2)设BC边上的高为AD，则AD＝a.因为B＝，所以BD＝AD＝a，所以CD＝a，所以AC＝＝a，AB＝a.由余弦定理得cosA＝＝－.利用正、余弦定理求三角形的角，常见形式有：(1)已知两边及其夹角，先由余弦定理求第三边，再由正弦定理求角．(2)已知三边，直接由余弦定理求角．(3)已知两边及其中一边的对角，先由正弦定理求另一边的对角，再由三角形内角和求第三角，注意此类问题有一解、两解或无解的情况．　命题角度二　求解三角形中的边与面积如图所示，在△ABC中，点D

8、为BC边上一点，且BD＝1，E为AC的中点，AE＝，cosB＝，∠ADB＝.(1)求AD的长；(2)求△ADE的面积．【解】　(1)在△ABD中，因为cosB＝，B∈(0，π)，所以sinB＝＝＝，所以sin∠BAD＝sin(B＋∠ADB)＝×＋×＝.由正弦定理知＝，得AD＝＝＝2.(2)由(1)知AD