2021年新高考数学二轮复习讲义+分层训练03 等差数列与等比数列 (解析版）.doc

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1、03等差数列与等比数列A组考点专练一、选择题1.在正项等比数列{an}中，若a5－a1＝15，a4－a2＝6，则a3＝(　　)A.2B.4C.D.8【答案】B【解析】设数列{an}的公比为q.由已知得即＝，解得q＝或q＝2.当q＝时，a1＝－16，不符合题意；当q＝2时，a1＝1，所以a3＝a1q2＝4，故选B.2．一个等比数列的前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列的项数是(　　)A．13B．12C．11D．10【答案】　B【解析】设等比数列为{an}，其前n项积为Tn，由已知得a1a2a3＝2，anan－1an－2＝4

2、，可得(a1an)3＝2×4，a1an＝2，∵Tn＝a1a2…an，∴T＝(a1a2…an)2＝(a1an)(a2an－1)…(ana1)＝(a1an)n＝2n＝642＝212，∴n＝12.3.(多选题)已知Sn是等差数列{an}(n∈N*)的前n项和，且S5>S6>S4.下列四个命题正确的是(　　)A.数列{Sn}中的最大项为S10B.数列{an}的公差d<0C.S10>0D.S11<0【答案】BCD【解析】因为S5>S6>S4，所以a6<0，a5>0且a5＋a6>0，所以数列{Sn}中的最大项为S5，A错误；数列{an}的公差d<0，B正确；

3、S10＝＝5(a5＋a6)>0，C正确；S11＝＝11a6<0，D正确.故选BCD.4.“中国剩余定理”又称“孙子定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2020这2020个数中，能被3除余1且被4除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则此数列的项数为(　　)A.167B.168C.169D.170【答案】C【解析】由题意得，能被3除余1且被4除余1的数就是能被12除余1的数，所以an＝12n－11，n∈N*，由an≤2020，得n≤169.因为n∈N*，所以此数列的项数为169.5.(多选题

4、)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，且≤1.记b1＝S2，bn＋1＝S2n＋2－S2n，n∈N*，下列等式可能成立的是(　　)A.2a4＝a2＋a6B.2b4＝b2＋b6C.a＝a2a8D.b＝b2b8【答案】ABC【解析】由题意，知b1＝S2＝a1＋a2，bn＋1＝S2n＋2－S2n＝a2n＋1＋a2n＋2，可得bn＝a2n－1＋a2n(n＞1，n∈N*).由为等差数列，可知为等差数列.选项A中，由a4为a2，a6的等差中项，得2a4＝a2＋a6，成立.选项B中，由b4为b2，b6的等差中项，得2b4＝b2＋b6，成立.选项C中

5、，a2＝a1＋d，a4＝a1＋3d，a8＝a1＋7d.由a＝a2a8，可得(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋7d)，化简得a1d＝d2，又由d≠0，可得a1＝d，符合≤1，成立.故A，B，C均符合题意要求，b2＝a3＋a4＝2a1＋5d，b4＝a7＋a8＝2a1＋13d，b8＝a15＋a16＝2a1＋29d.由b＝b2b8，知(2a1＋13d)2＝(2a1＋5d)(2a1＋29d)，化简得2a1d＝3d2，又由d≠0，可得＝.这与已知条件≤1矛盾.D错.二、填空题6.已知等差数列{an}的公差不为0，a1＝1，且a2，a4，a8成等比数列，设

6、{an}的前n项和为Sn，则Sn＝________.【答案】(n∈N*)【解析】设等差数列{an}的公差为d.∵a2，a4，a8成等比数列，∴a＝a2·a8，即(a1＋3d)2＝(a1＋d)·(a1＋7d)，∴(1＋3d)2＝(1＋d)·(1＋7d)，解得d＝1或d＝0(舍)．∴Sn＝na1＋d＝(n∈N*)．7.已知Sn是等比数列{an}的前n项和，且S3，S9，S6成等差数列，a3＋a6＝2，则a9＝________.【答案】1【解析】设等比数列{an}的公比为q，因为Sn是等比数列{an}的前n项和，且S3，S9，S6成等差数列，所以2S9

7、＝S3＋S6，显然q＝1不满足此式，所以q≠1，所以＝＋，整理得1＋q3＝2q6，即(2q3＋1)(q3－1)＝0，解得q3＝－.又a3＋a6＝a1q2＋a1q5＝a1q2(1＋q3)＝a1q2＝2，所以a1q2＝4，所以a9＝a1q8＝a1q2·q6＝4×＝1.8.(2019·北京卷)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝－3，S5＝－10，则a5＝_____，Sn的最小值为_______.【答案】0，－10【解析】由题意得a2＝a1＋d＝－3，S5＝5a1＋10d＝－10，解得a1＝－4，d＝1，所以a5＝a1＋4d＝0，故an＝a1＋

8、(n－1)d＝n－5.令an≤0，则n≤5，即数列{an}中前4项为负，a5＝0，第6项及以后项为正.∴Sn的最小值为S4＝S5＝－10