2021年新高考数学二轮复习讲义+分层训练04 数列求和及综合问题（解析版）.doc

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1、04数列求和及综合问题A组考点专练一、选择题1.已知Tn为数列的前n项和，若m>T10＋1013恒成立，则整数m的最小值为(　　)A.1026B.1025C.1024D.1023【答案】C【解析】因为＝1＋，所以Tn＝n＋1－，则T10＋1013＝11－＋1013＝1024－，又m>T10＋1013，所以整数m的最小值为1024.2.在等差数列{an}中，a3＋a5＝a4＋7，a10＝19，则数列{ancosnπ}的前2020项的和为(　　)A.1009B.1010C.2019D.2020【答案】D【解析】设{an}的公差为d，则有解得∴an＝2n－1，设

2、bn＝ancosnπ，则b1＋b2＝a1cosπ＋a2cos2π＝2，b3＋b4＝a3cos3π＋a4cos4π＝2，…，∴数列{ancosnπ}的前2020项的和S2020＝(b1＋b2)＋(b3＋b4)＋…＋(b2019＋b2020)＝2×1010＝2020.3.数列{an}满足a1＝1，对任意n∈N*，都有an＋1＝1＋an＋n，则＋＋…＋＝(　　)A.B.2C.D.【答案】C【解析】对任意n∈N*，都有an＋1＝1＋an＋n，则an＋1－an＝n＋1，则an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝n＋(n－1)＋…＋

3、1＝，则＝＝2，所以＋＋…＋＝2[＋＋…＋]＝2×＝.4.(多选题)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝Sn＋2an＋1，数列的前n项和为Tn，n∈N*，则下列选项正确的为(　　)A.数列{an＋1}是等差数列B.数列{an＋1}是等比数列C.数列{an}的通项公式为an＝2n－1D.Tn<1【答案】BCD【解析】由Sn＋1＝Sn＋2an＋1，得an＋1＝Sn＋1－Sn＝2an＋1，可化为an＋1＋1＝2(an＋1).由a1＝1，得a1＋1＝2，则数列{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列.则an＋1＝2n，即an＝2n－1.由＝＝－

4、，得Tn＝1－＋－＋…＋－＝1－<1.所以A错误，B，C，D正确.故选BCD.5.(多选题)已知数列{an}满足an＋1＋an＝n·(－1)，其前n项和为Sn，且m＋S2019＝－1009，则下列说法正确的是(　　)A.m为定值B.m＋a1为定值C.S2019－a1为定值D.ma1有最大值【答案】BCD【解析】当n＝2k(k∈N*)时，由已知条件得a2k＋a2k＋1＝2k·(－1)k(2k＋1)，所以S2019＝a1＋a2＋a3＋…＋a2019＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a2018＋a2019)＝a1－2＋4－6＋8－10＋…－2018＝

5、a1＋1008－2018＝a1－1010，所以S2019－a1＝－1010.m＋S2019＝m＋a1－1010＝－1009，所以m＋a1＝1，所以ma1≤＝，当且仅当m＝a1＝时等号成立，此时ma1取得最大值.故选BCD.二、填空题6.对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝2，数列{an}的“差数列”的通项公式为an＋1－an＝2n，则数列{an}的前n项和Sn＝________.【答案】2n＋1－2【解析】因为an＋1－an＝2n，所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2

6、n－1＋2n－2＋…＋22＋2＋2＝＋2＝2n－2＋2＝2n，所以Sn＝＝2n＋1－2.7.已知数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3an＋1，则a1＝________，an＝________.【答案】－1　－3n－1【解析】令n＝1，则2S1＝3a1＋1，又S1＝a1，所以a1＝－1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3an－3an－1)，整理得an＝3an－1，即＝3(n≥2).因此，{an}是首项为－1，公比为3的等比数列.故an＝－3n－1.8.已知数列{nan}的前n项和为Sn，且an＝2n，则使得Sn－nan＋1＋50<0的最小正整数n的

7、值为________.【答案】5【解析】Sn＝1×21＋2×22＋…＋n×2n，则2Sn＝1×22＋2×23＋…＋n×2n＋1，两式相减得－Sn＝2＋22＋…＋2n－n·2n＋1＝－n·2n＋1，故Sn＝2＋(n－1)·2n＋1.又an＝2n，∴Sn－nan＋1＋50＝2＋(n－1)·2n＋1－n·2n＋1＋50＝52－2n＋1，依题意52－2n＋1<0，故最小正整数n的值为5.三、解答题9.记Sn为等差数列{an}的前n项和，且a10＝4，S15＝30.(1)求数列{an}的通项公式以及前n项和Sn；(2)记数列{2an＋4＋an}的前n项和为Tn，求满

8、足Tn＞0的最小正整数n的值.【解析】(1)记数列{an}的公差为