2020版高考文科数学大二轮专题复习新方略讲义：4.2递推数列及数列求和的综合问题 Word版含解析.pdf

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1、第2讲递推数列及数列求和的综合问题考点1由递推关系式求通项公式(1)累加法：形如a＝a＋f(n)，利用a＝a＋(a－a)＋(a－a)n＋1nn12132＋…＋(a－a)，求其通项公式．nn－1aaaa(2)累积法：形如n＋1＝f(n)≠0，利用a＝a·2·3·…·n，求其通an1aaan12n－1项公式．(3)待定系数法：形如a＝pa＋q(其中p，q均为常数，pq(p－n＋1n1)≠0)，先用待定系数法把原递推公式转化为a－t＝p(a－t)，其中tn＋1nq＝，再转化为等比数列求解．1－p(4)构造法：形如a＝pa＋qn(其中p，q均为常数，pq(p

2、－1)≠0)，n＋1napa1先在原递推公式两边同除以qn＋1，得n＋1＝·n＋，构造新数列qn＋1qqnqap1{b}其中b＝n，得b＝·b＋，接下来用待定系数法求解．nnqnn＋1qnq[例1]根据下列条件，确定数列{a}的通项公式：n(1)a＝2，a＝a＋n＋1；1n＋1nn－1(2)a＝1，a＝a(n≥2)；1nnn－1(3)a＝1，a＝3a＋2.1n＋1n【解析】(1)由题意得，当n≥2时，a＝a＋(a－a)＋(a－a)＋…＋(a－a)n12132nn－1n－12＋nnn＋1＝2＋(2＋3＋…＋n)＝2＋＝＋1.22

3、1×1＋1又a＝2＝＋1，符合上式，12nn＋1因此a＝＋1.n2n－1(2)∵a＝a(n≥2)，nnn－1n－21∴a＝a，…，a＝a.n－1n－1n－2221以上(n－1)个式子相乘得12n－1a1a＝a···…·＝1＝.n123nnn当n＝1时，a＝1，上式也成立．11∴a＝.nn(3)∵a＝3a＋2，n＋1na＋1∴a＋1＝3(a＋1)，∴n＋1＝3，n＋1na＋1n∴数列{a＋1}为等比数列，公比q＝3，n又a＋1＝2，1∴a＋1＝2·3n－1，n∴a＝2·3n－1－1.n由数列递推式求通项公式的常用方法『对接训练』1．根据下列条件

4、，确定数列{a}的通项公式：n(1)a＝1，a＝a＋2n；1n＋1n(2)a＝1，a＝2na；1n＋1n2a(3)a＝1，a＝n.1n＋1a＋2n解析：(1)a＝(a－a)＋(a－a)＋…＋(a－a)＋a＝2n－1＋2nnnn－1n－1n－22111－2n－2＋…＋2＋1＝＝2n－1.1－2a(2)∵n＋1＝2n，anaaa∴2＝21，3＝22，…，n＝2n－1，aaa12n－1将这n－1个等式叠乘，nn+1a2得n＝21＋2＋…＋(n－1)＝2，a1nn-12∴a＝2.n2a(3)∵a＝n，n＋1a＋2n1a＋211取倒数得：＝n＝＋，a2

5、aa2n＋1nn111∴－＝，aa2n＋1n1∵a＝1，∴＝1，1a111∴是以1为首项，为公差的等差数列，a2n11n＋1∴＝1＋(n－1)·＝，a22n2∴a＝.nn＋1考点2错位相减法求和错位相减法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a·b}的前n项和，其中{a}，{b}分别是等差nnnn数列和等比数列．[例2][2019·天津卷]设{a}是等差数列，{b}是等比数列，公比nn大于0.已知a＝b＝3，b＝a，b＝4a＋3.112332(1)求{a}和{b}的通项公式；nn1，n为奇数，(2)设数列{

6、c}满足c＝n求ac＋ac＋…＋nnb，n为偶数.11222ac(n∈N*)．2n2n【解析】(1)设等差数列{a}的公差为d，等比数列{b}的公比为nnq.3q＝3＋2d，d＝3，d＝－3，依题意，得解得或(舍)3q2＝15＋4d，q＝3，q＝－1，故a＝3＋3(n－1)＝3n，b＝3×3n－1＝3n.nn所以{a}的通项公式为a＝3n，{b}的通项公式为b＝3n.nnnn(2)ac＋ac＋…＋ac11222n2n＝(a＋a＋a＋…＋a)＋(ab＋ab＋ab＋…＋ab)1352n－12142632nnnn－1

7、＝n×3＋×6＋(6×31＋12×32＋18×33＋…＋6n×3n)2＝3n2＋6(1×31＋2×32＋…＋n×3n)．记T＝1×31＋2×32＋…＋n×3n，①n则3T＝1×32＋2×33＋…＋n×3n＋1，②n②－①得，2T＝－3－32－33－…－3n＋n×3n＋1n31－3n2n－13n＋1＋3＝－＋n×3n＋1＝.1－322n－13n＋1＋3所以ac＋ac＋…＋ac＝3n2＋6T＝3n2＋3×＝11222n2nn22n－13n＋2＋6n2＋9(n∈N*).2所谓“错位”，就是要找“同类项”相减．要注意的是相减后得到部

8、分，求等比数列的和，此时一定要查清其项数．为保证结果正确，可对得到的和取n＝1,2进行验证.『对接训练』2．