连续与极限 高等数学课件.ppt

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1、第二章极限与连续1.正确理解数列极限、函数极限以及几何意义，仔细体会它们的数学内涵;2.理解并掌握数列收敛判别法，会用这些法则求各种形式数列的极限;3.理解函数单侧极限的概念，能用它讨论函数在临界点处的极限问题;4.理解并掌握函数收敛判别法，重点是两个重要极限及其应用;5.理解无穷大、无穷小、连续、间断等概念，会进行无穷小的比较、会讨论函数在临界点处的连续和间断问题;6.理解连续函数在闭区间上的性质，掌握闭区间上连续函数的重要性质和定理。第二章极限与连续§2.1数列的极限一、概念引入二、数列定义三、数列的极限四、数列极限的

2、性质五、数列收敛判别法六、小结老农有十九头牛，遗嘱：大儿子分二分之一，二儿子分四分之一，小儿子分五分之一，不可杀牛.如何分割？1、《九章算术》中老农分牛自由落体在时刻t的瞬时速度。一、概念的引入2、截丈问题“一尺之棰，日截其半，万世不竭”3、物理问题1/1/6.1二、数列的定义1、实数列说明：1）数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取2）数列是整标函数1/2/6.22、常见数列3、有界数列、无界数列4、单调数列调和数列、等比数列、常数列、摆动数列有界数列：既有上界，也有下界；无界数列：可无上界，也可无下界.单

3、调增数列，单调减数列。2/2/6.2三、数列的极限1/7/6.31.观察数列：问题1:当无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?问题2:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它？“无限接近”的自然语言描述:2/7/6.3给定误差0.01，给定误差0.001，预先给定误差，找到标志，保证此标志以后，数列的所有项与某定值之差的绝对值小于预先给定误差。如何用数学语言刻划“无限接近”？3.定义说明：(6点)1)具有任意性，刻画与a的接近程度;2)具有相对固定性，目的是为了找到满足条件的N，不同的，对应的N一

4、般也不同，即；3/7/6.32.数列极限的数学定义：记作：4)，即当n充分大时，所有的都落在带形域内；3)对不同的，只要找到满足条件的N即可，不必要一定找到最小的N，所以，同一个可以有不同的N；5)如果数列没有极限,就说数列是发散的;6)数列极限的定义未给出求极限的方法.4/7/6.3例1证所以,取呢？取呢？…...5/7/6.3例2证取呢？呢？…...小结:用定义证数列极限存在时,关键是任意给定寻找N,但不必要求最小的N.6/7/6.3例3证故。7/7/6.3四、数列极限的性质2.四则运算性质（定理2）1.有界唯一性定理

5、1收敛数列有界，且有唯一的一个极限；注意：有界性是数列收敛的必要条件.结论：无界数列必定发散；极限不唯一的数列必定发散.3.极限的比较性质（定理3、4）4.极限的保号性质（定理3、4的推论）1/2/6.4例4证由定义,区间长度为1.不可能同时位于长度为1的区间内.所以，有界数列不一定收敛。2/2/6.4五、数列收敛判别法说明：1）n充分大后，有不等式；2）能确定极限成立.求极限：；1.夹挤原理（两边夹法则）（定理5）例11/4/6.5解由夹逼定理得说明：必须同时满足单调性和有界性.已知，求.2.单调有界收敛原理（定理6）2

6、/4/6.5例2证：(舍去)3/4/6.5求极限和.已知求。3.一个重要的极限结果（例7）4.迭代序列收敛性4/4/6.5六.小结数列:研究n向无穷大变化时一般项的变化趋势;数列极限:极限思想,精确定义,几何意义;收敛数列的性质:有界性，唯一性.数列收敛判别法:夹挤原理，单调有界收敛原理.