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1、第一章极限与连续1.１数列的极限1.数列及其极限一、数列极限的描述性定义1.依照某种规律排列的一串数叫做数列。数列中的每一个数叫做数列的项。数列中的一般项称为通项,用xn表示。2.看几个数列的实例：1,4,9,16,25,…,n2,…1,0,-1,0,1,0,-1,0,1,…3.数列可以看成为自变量取正整数值n的函数4.数列的极限对于数列x1,x2,x3,…,xn,…，当项数n无限增大时，它的通项xn无限趋近于某一个常数a，则称a为数列{xn}的极限。记作或xn→a(n→+∞)。5.具有极限的数列称为收敛数列，没有极限的数列
2、称为发散数列例如：⑴⑵⑶⑷1,-4,9,-16,25,-36,…,(-1)n+1n2,…其中，⑴⑶是收敛数列，⑵⑷是发散数列。[几点说明]1.数列的收敛与否与这个数列的增减性无关例如上面的收敛数列中，⑴是递减数列，⑶是递增数列。常数列一定是收敛数列。2.收敛的数列一定有界，但有界的数列不一定收敛。3.收敛数列的极限有的可以达到有的不能达到。例如，常数列可以达到它的极限，但上面的例子都不能达到它们的极限。二、数列极限的精确定义1.无限趋近于a的意义是指：⑴随着n的增大，数列的项xn与a之间的距离越来越小⑵只要n足够大，数列的项
3、xn与a之间的距离可以小于给定的任何正数⑶无论你给定一个多小的正数，都一定可以在数列中找到一项xN，使这一项后面所有的项与a之间的距离小于你给定的那个正数。定义2.1对于给定的无论怎样小的正数ε，总存在一个自然数N，使得当n＞N时，不等式
4、xn－a
5、＜ε成立，那么，就称a是数列{xn}的极限。这一定义又称为ε－N定义。2.数列极限的重要性质：⑴如一个数列的极限存在,则此极限是唯一的。⑵一个数列增加或删去有限项，不影响此数列的极限，即数列极限的存在性不变，极限的值不变。三、数列极限的运算法则1.什么是数列的和、差、积、商设：{
6、xn}:{yn}:那么数列，称为数列{xn}与{yn}的和,记作{xn＋yn}数列{xn－yn}，称为数列{xn}与{yn}的差数列{cxn}，称为常数c与数列{xn}的乘积数列{xn·yn}，称为数列{xn}与{yn}的积数列，称为数列{xn}与{yn}的商2.[数列极限的四则运算法则]如果数列{xn}和数列{yn}的极限都存在，且则这两个数列的和、差、积、商（在商的情况中yn≠0，b≠0）以及常数c与其中一个数列的积都是收敛的，且有:⑴⑵这说明求极限时，常数因子可以提到极限记号的前面来。⑶⑷3.三个基本极限运用下面介绍的
7、三个基本极限，可以利用数列极限的运算性质把复杂的数列极限化为简单的数列极限来解。⑴⑵(
8、q
9、＜1)公比
10、q
11、＜1的等比数列称为无穷等比递缩数列，它的极限等于０⑶,即常数列的极限就是常数本身。例3求解：[解法总结]如果数列的通项是分子、分母都是n的多项式的分式时，可将分子、分母同除以n的最高次幂，然后用极限的运算性质解。例4求解：[解法总结]如果数列的通项的分子或分母是无限项之和时，应先将无限项之和求出，再用极限的运算性质解。例5求解：[解法总结]如果数列的通项的分子或分母含有无理式时，可先将无理式有理化后再用极限的运算性质解
12、。例6求解：[解法总结]如果在数列通项的分子和分母中n在指数上时，可设法化为底数的绝对值小于１的指数式后，再用基本极限和极限的运算性质解。1.2函数的极限2.函数的极限一、自变量趋于无限时的函数极限研究函数当x的绝对值取得很大时的函数值。X100100010000-100-1000-1000y1.011.0011.00010.990.9990.9999Y研究函数的图象：y=1X在x＞0的范围内，图象向x增大的方向(向右)无限延伸时，趋近于直线y=1;在x＜0的范围内，图象向x减小的方向(向左)无限延伸时，也趋近于直线y=1。
13、1.x→+∞时函数的极限[定义]设函数y＝f(x)，如果当x→+∞时，函数值f(x)无限趋近于某常数A，则称A是当x趋于正无穷时函数y＝f(x)的极限，记作＝A或f(x)→A(x→+∞)上例可表示为：又如：，。2.x→-∞时函数的极限[定义]设函数y＝f(x)，如果当x→-∞时，函数值f(x)无限趋近于某常数A，则称A是当x趋于负无穷时函数y＝f(x)的极限，记作＝A或f(x)→A(x→-∞)上例可表示为：又如：，。3.x→∞时函数的极限[定义]对于函数y＝f(x)，如果x可正可负，且
14、x
15、无限增大时，f(x)无限趋于某常数
16、A，则称A是当x趋于无穷时函数y＝f(x)的极限,记作＝A或f(x)→A(x→∞)上例可表示为：又如：，。[定理]当且仅当时，才成立，即成立的充分必要条件是：现在我们来研究自变量x趋于某一个常数时函数值的极限。研究函数当x的取值靠近1时的函数值。X1.11.011.0010.90.990.
