金融工程课件12期权定价的数值方法.ppt

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1、引言12.0第十二章期权定价的数值方法在第十一章中，我们得到了期权价值所满足的偏微分方程，并解出了特定条件下的期权解析定价公式。但在很多情形中，我们无法得到期权价值的解析解，这时人们经常采用数值方法（NumericalProcedures）为期权定价，主要包括二叉树方法（BinomialTrees）、蒙特卡罗模拟（MonteCarloSimulation）和有限差分方法（FiniteDifferenceMethods）。在这一章里，我们将介绍如何借助上述三种数值方法来为期权定价。为了便于表达，本章中统一

2、假设当前时刻为零时刻。11、从开始的上升到原先的倍，即到达；把期权的有效期分为很多很小的时间间隔，并假设在每一个时间间隔内证券价格只有两种运动的可能：2、下降到原先的倍，即相应地，期权价值也会有所不同，分别为和。12.1二叉树定价模型2二叉树模型的思想实际上是在用大量离散的小幅度二值运动来模拟连续的资产价格运动12.1二叉树定价模型相同期限下步长越小精确度越高3无套利定价法：构造投资组合包括份股票多头和1份看涨期权空头当时,股票价格的变动对组合无影响则组合为无风险组合此时因为是无风险组合，可用无风险利率

3、贴现，得将代入上式就可得到：其中12.1二叉树定价模型:参数确定的方法4在风险中性世界里：（1）所有可交易证券的期望收益都是无风险利率；（2）未来现金流可以用其期望值按无风险利率贴现。在风险中性的条件下,参数值满足条件：假设证券价格遵循几何布朗运动，则：再设定：（第三个条件的设定则可以有所不同，这是Cox、Ross和Rubinstein所用的条件）由以上三式可得，当很小时：从而以上可知，无套利定价法和风险中性定价法具有内在一致性。12.1二叉树定价模型:参数确定的方法512.1二叉树定价模型:参数确定的

4、方法得到每个结点的资产价格之后，就可以在二叉树模型中采用倒推定价法，从树型结构图的末端T时刻开始往回倒推，为期权定价。如果是欧式期权，可通过将时刻的期权价值的预期值在时间长度内以无风险利率贴现求出每一结点上的期权价值；如果是美式期权，就要在树型结构的每一个结点上，比较在本时刻提前执行期权和继续再持有时间，到下一个时刻再执行期权，选择其中较大者作为本结点的期权价值。（见书本案例12.1）倒推定价法6二叉树一般定价过程假设把该期权有效期划分成N个长度为的小区间，同时用表示结点处的证券价格可得：，其中若期权不

5、被提前执行，后，则：所以实际上表示在时间时第j个结点处的美式看跌期权的价值若有提前执行的可能性，则这样推至即为当前期权的价格。12.1二叉树定价模型的一般定价过程7支付连续红利率资产的期权定价当标的资产支付连续收益率为的红利时，在风险中性条件下，证券价格的增长率应该为，因此：对于股价指数期权来说，为股票组合的红利收益率；对于外汇期来说，为国外无风险利率，因此以上式子可用于股价指数和外汇的美式期权定价。12.1二叉树定价模型:有红利资产的期权定价8可通过调整在各个结点上的证券价格，算出期权价格；如果时刻在

6、除权日之前，则结点处证券价格仍为：如果时刻在除权日之后，则结点处证券价格相应调整为：若在期权有效期内有多个已知红利率，则时刻结点的相应的证券价格为：（为0时刻到时刻之间所有除权日的总红利支付率）支付已知红利率的资产12.1二叉树定价模型:有红利资产的期权定价9支付已知红利额的资产如何解决节点不重合的问题12.1二叉树定价模型:有红利资产的期权定价10假设在期权有效期内只有一次红利，除息日在0到τ之间，则在iΔt时刻不确定部分的价值为：当时当时（表示红利）综上可得在时刻：当时，这个树上每个结点对应的证券价

7、格为：当时，这个树上每个结点对应的证券价格为：（为零时刻的的值）在已知红利额的情况下,为了使得二叉树的节点重合减少计算量,我们可以将证券价格分为两个部分：一部分是不确定的；另一部分是期权有效期内所有未来红利的现值。支付已知红利额的资产12.1二叉树定价模型:有红利资产的期权定价1112.1二叉树定价模型:其他方法（一）的二叉树图（二）三叉树图（三）控制方差技术（四）适应性网状模型12的二叉树图在确定参数、和时，不再假设，而令，可得：该方法优点在于无论和如何变化，概率总是不变的12.1二叉树定价模型:其他

8、方法13三叉树图每一个时间间隔内证券价格有三种运动的可能：1、从开始的上升到原先的倍，即到达；2、保持不变，仍为；3、下降到原先的倍，即12.1二叉树定价模型:其他方法14一些相关参数：12.1二叉树定价模型:其他方法15控制方差技术基本原理：期权A和期权B的性质相似，我们可以得到期权B的解析定价公式，而只能得到期权A的数值方法解。假设：,代表期权B的真实价值，表示关于期权A的较优估计值，和表示用同一个二叉树、相同的蒙特卡罗模拟或是同样的有