期权定价数值方法.ppt

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1、第20章基本数值方法20.1二叉树20.2采用二叉树对股指、货币与期货期权定价20.3对于支付股息股票的二叉树模型20.4构造树形的其他方法20.5参数依赖于时间的情形20.6蒙特卡罗模拟法20.7方差缩减程序20.8有限差分法第20章基本数值方法1、从开始的上升到原先的倍，即到达；2、下降到原先的倍，即。时间内资产价格的变动把期权的有效期分为很多很小的时间间隔，并假设在每一个时间间隔内证券价格只有两种运动的可能：其中，.如图所示。价格上升的概率假设为，下降的概率假设为。相应地，期权价值也会有所不同，分别为和。20.1二叉树构造投资组合包

2、括份股票多头和1份看涨期权空头当。则组合为无风险组合此时因为是无风险组合，可用无风险利率贴现，得将代入上式就可得到：其中无套利定价法：在对衍生产品定价时，可以假定世界是风险中性的。在风险中性世界里：（1）所有可交易证券的期望收益都是无风险利率；（2）未来现金流可以用其期望值按无风险利率贴现。20.1.1风险中性定价在风险中性的条件下,参数值满足条件：假设证券价格遵循几何布朗运动，则：再设定：（第三个条件的设定则可以有所不同，这是Cox、Ross和Rubinstein所用的条件）由以上三式可得，当很小时：从而以上可知，无套利定价法和风险中性

3、定价法具有内在一致性。20.1.2确定p,u,d一般而言，在时刻，证券价格有种可能，它们可用符号表示为：其中由于，使得许多结点是重合的，从而大大简化了树图。20.1.3资产价格的树形得到每个结点的资产价格之后，就可以在二叉树模型中采用倒推定价法，从树型结构图的末端T时刻开始往回倒推，为期权定价。如果是欧式期权，可通过将时刻的期权价值的预期值在时间长度内以无风险利率贴现求出每一结点上的期权价值；如果是美式期权，就要在树型结构的每一个结点上，比较在本时刻提前执行期权和继续再持有时间，到下一个时刻再执行期权，选择其中较大者作为本结点的期权价值。

4、例20-1DerivaGem示范20.1.4通过树形倒推计算假设把一期权有效期划分成N个长度为的小区间，同时用表示结点处的证券价格可得（以看涨期权为例）：其中假定期权不被提前执行，则：（表示在时间时第j个结点处的欧式看涨期权的价值）若有提前执行的可能性，则：20.1.5代数表达式20.1.6估计Delta与其他希腊值20.2采用二叉树对股指、货币与期货期权进行定价当对股指、货币和期货上的期权定价时，可以将这些标的资产看作是提供已知收益率的资产。对于股指而言，收益率就是股指中股票组合的股息收益率；对于货币而言，收益率等于外币无风险利率；对于

5、期货合约而言，收益率等于无风险利率。Derivagem求解例20-3，20-4假设股息离散支付，股息收益率已知可通过调整在各个结点上的股票价格，算出期权价格；如果时刻在除权日之前，则结点处股票价格仍为：如果时刻在除权日之后，则结点处证券价格相应调整为：若在期权有效期内有多个已知红利率，则时刻结点的相应的证券价格为：（为0时刻到时刻之间所有除权日的总红利支付率）20.3对于支付股息股票的二叉树模型20.3.1股息收益率是已知的情形20.3.2已知股息数量的情形在某些情形下，尤其是当期权的期限很短时，最符合现实的做法是假设已知股息支付的数量而

6、不是股息收益率。假设股票波动率为常数，二叉树的形状如下图所示。将股票价格分为两个部分：一部分是不确定的；另一部分是期权有效期内所有未来股息的贴现值。假设在期权有效期内只有一个除息日，则在时刻不确定部分的价值为：当时当时（D为股息）对于原股票价格S的二叉树，在时刻：当时，股票价格为：当时，股票价格为：（为零时刻的值）例20-5基本原理：期权A和期权B的性质相似，我们可以得到期权B的解析定价公式，而只能得到期权A的数值方法解。假设：（代表期权B的真实价值，表示关于期权A的较优估计值，和表示用同一个二叉树、相同的蒙特卡罗模拟或是同样的有限差分过

7、程得到的估计值）则期权A的更优估计值为：20.3.3控制变量技术该方法优点在于无论和如何变化，概率总是不变的缺点在于二叉树图中的中心线上的标的资产价格不会再和初始中心值相等。20.4构造树形的其他方法CRR方法并不是构造二叉树的唯一方法，在确定参数、和时，不再假设，而令，可得：三叉树图每一个时间间隔内证券价格有三种运动的可能：1、从开始的上升到原先的倍，即到达；2、保持不变，仍为；3、下降到原先的倍，即假定股票支付股息收益率q，以下参数可保证树形的均值和标准差与股票价格的均值和标准差相吻合1、利率是时间依赖的情形假设，即在时刻的结点上，其

8、应用的利率等于到时间内的远期利率，则：这一假设并不会改变二叉树图的几何形状，改变的是上升和下降的概率，所以我们仍然可以象以前一样构造出二叉树图，不同的是贴现时用2、波动率依赖于时间20.5参数