第08章 期权定价的数值方法

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1、第八章期权定价的数值方法在前面几章中，我们得到了期权价值所满足的偏微分方程，并且解出了一些精确的期权解析定价公式。但是在很多情形中，我们无法得到期权价值的解析解，这时人们经常采用数值方法（NumericalProcedures）为期权定价，其中包括二叉树方法（BinomialTrees）、蒙特卡罗模拟（MonteCarloSimulation）和有限差分方法（FiniteDifferenceMethods）。当期权收益依赖于标的变量所遵循的历史路径时（如我们将在第九章看到的路径依赖期权），或是期权价值取决于多个标的变量

2、的时候，可以用蒙特卡罗模拟为期权定价。而二叉树图和有限差分方法则比较适用于有提前执行可能性的期权。在这一章里，我们将介绍如何借助上述三种数值方法来为期权定价。为了便于表达，本章中统一假设当前时刻为零时刻，表示为0。第一节二叉树期权定价模型二叉树期权定价模型是由J.C.Cox、S.A.Ross和M.Rubinstein于1979年首先提出的，已经成为金融界最基本的期权定价方法之一。二叉树模型的优点在于其比较简单直观，不需要太多的数学知识就可以加以应用。一、二叉树模型的基本方法我们从简单的无收益资产期权的定价开始讲解二叉树

3、模型，之后再逐步加以扩展。二叉树模型首先把期权的有效期分为很多很小的时间间隔，并假设在每一个时间间隔内证券价格只有两种运动的可能：从开始的上升到原先的倍，即到达；下降到原先的倍，即。其中，，，如图8.1所示。价格上升的概率假设为，下降的概率假设为。图8.1时间内资产价格的变动相应地，期权价值也会有所不同，分别为和。注意，在较大的时间间隔内，这种二值运动的假设当然不符合实际，但是当时间间隔非常小的时候，比如在每个瞬间，资产价格只有这两个运动方向的假设是可以接受的。因此，二叉树模型实际上是在用大量离散的小幅度二值运动来模拟

4、连续的资产价格运动。（一）单步二叉树模型30运用单步二叉树为期权定价，可以有两种方法：无套利方法和风险中性定价方法。1.无套利定价法由于期权和标的资产的风险源是相同的，在如图8.1的单步二叉树中，我们可以构造一个证券组合，包括股资产多头和一个看涨期权空头。如果我们取适当的值，使则无论资产价格是上升还是下跌，这个组合的价值都是相等的。也就是说，当时，无论股票价格上升还是下跌，该组合的价值都相等。显然，该组合为无风险组合，因此我们可以用无风险利率对贴现来求该组合的现值。在无套利机会的假设下，该组合的收益现值应等于构造该组合

5、的成本，即将代入上式就可得到：其中2.风险中性定价法在第六章中我们已经探讨过，期权定价可以在风险中性世界中进行，同样，我们也可以在二叉树模型中应用风险中性定价原理，确定参数、和，从而为期权定价。这是二叉树定价的一般方法。在风险中性世界里：（1）所有可交易证券的期望收益都是无风险利率；（2）未来现金流可以用其期望值按无风险利率贴现。在风险中性的条件下，标的证券的预期收益率应等于无风险利率，因此若期初的证券价格为，则在很短的时间间隔末的证券价格期望值应为。因此，参数、和的值必须满足这个要求，即：(8.1)二叉树模型也假设证

6、券价格遵循几何布朗运动，根据第六章的讨论，在一个小时间段内证券价格变化的方差是。根据方差的定义，变量的方差等于，因此：30(8.2)式（8.1）和(8.2)给出了计算、和的两个条件。第三个条件的设定则可以有所不同，Cox、Ross和Rubinstein所用的条件这是二叉树模型中最常用的第三个条件，后文我们将会谈到对第三个条件的其他设定方法。是：（8.3）从以上三个条件求得，当很小时：（8.4）（8.5）（8.6）从而比较以上两种方法，我们可以看到，无套利定价法和风险中性定价法具有内在一致性。在风险中性定价过程中，我们无

7、需考虑资产价格上升和下降的概率，也就是说资产预期收益具有无关性，这正好符合风险中性的概念。但是在最后的期权公式中，两种方法都包含了概率，这里的概率是风险中性世界中的概率，参数、和实际上都隐含在给定条件中。一般来说，在运用二叉树方法时，风险中性定价是常用的方法，而无套利定价法则主要是提供了一种定价思想。（二）证券价格的树型结构应用多步二叉树模型来表示证券价格变化的完整树型结构如图8.2所示。30图8.2资产价格的树型结构当时间为0时，证券价格为。时间为时，证券价格要么上涨到，要么下降到；时间为2时，证券价格就有三种可能：

8、、（等于）和，以此类推。一般而言，在时刻，证券价格有种可能，它们可用符号表示为：其中注意：由于，使得许多结点是重合的，从而大大简化了树图。（三）倒推定价法得到每个结点的资产价格之后，就可以在二叉树模型中采用倒推定价法，从树型结构图的末端T时刻开始往回倒推，为期权定价。由于在到期时刻的预期期权价值是已知的，例如看涨期权价值为，看跌期