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1、期权定价的数值方法研究1、相关定义1.1、预备概念a.Brown运动定义1.1[26](Brown运动)如果随机过程{Bt,t0}满足:(1)B00;(2)cov(Bi,Bj)0,ij;(3)B2tsBs~N(0,t).则称{Bt,t0}为Brown运动.特别地,当1时,称之为标准Brown运动.图2-1布朗运动数据模拟图像b.It过程定义1.2(It过程)如果随机过程(t)满足dtatdtbtdBt(2-1)其中at和bt都是R上的函数,则称(t)为It过程.c.It公式It公式,随机分析中的一个重要的工具,有很多的重要的公式及定理都是由It公式推导出的.以下是具体的内容.51.2、
2、Black-Scholes模型的基本概念Black-Scholes微分方程是基于不付红利股票的任意一种衍生证券的价格f必须满足的方程。一种无风险证券组合包含一些衍生证券头寸和一个股票头寸,建立一个这样的证券组合并设定其收益率等于无风险利率。在Black-Scholes分析中,建立的证券组合仅在很短时期内保持无风险状态,而可以证明:如果无套利机会,这一段短期的收益必定为无风险利率。可以建立无风险证券组合的原因是股票价格和衍生证券的价格都受到同一种基本的不确定性的影响。这意味着经过任意一个短时期,两者高度相关。如果建立了一个恰当的股票和衍生证券的证券组合,股票头寸的盈利(损失)总是会与衍生
3、证券的损失(盈利)相抵消,因而在短时期末证券组合的总价值也就确定了。Black-Scholes模型的基本假设:①允许使用全部所得卖空衍生证券。②没有交易费用或税收。③在衍生证券的有效期内没有红利支付。④不存在无风险套利的机会。⑤证券交易是连续的。⑥无风险利率r为常数且对所有到期日都相同。重庆大学硕士学位论文2Black-Scholes模型的建立和定价公式的推导6⑦标的股票价格S遵循如下过程:dS=μSdt+σSdZ(t)(2.1)其中μ为股票预期收益率,σ为股价波动率。Z(t)为维纳过程,即有:dZ=λdt(2.2)λ服从标准正态分布Φ(0,1),其概率密度为222()1λfλ=πe?
4、(2.3)也称股票价格服从对数正态分布或几何布朗运动。1.3、期权的基本概念期权的基本含义是:买卖特定商品或有价证券的合约,并在合约到期时由合约买方决定是否执行这一合约。从形式上看,期权是一种交易双方签订的、按约定价格、约定时间、买卖约定数量的特定商品或有价证券的合约。简单来说,期权是一种选择权,期权交易实质上是一种权利的买卖,期权的一方在向对方支付一定数额的货币后,即拥有在一定时间内以一定的价格向对方购买或出售一定数量的某种商品或有价证券的权利,而不必负担必须买进或卖出的义务。期权分为看涨期权和看跌期权,前者给予合约持有者在未来某时以事先约定的价格购买标的资产的权利,后者则给予以约定
5、价格出售标的资产的权利。合约中的约定价格为敲定价格或执行价格。按执行时间的不同,期权又分为美式期权和欧式期权,欧式期权只能在到期日执行,而美式期权可以在合约到期日之前的任何一天执行。我们把看涨期权和看跌期权称为大众型(plainvanilla)或标准化(standard)衍生证券。最近几年,为了满足顾客和市场的需要,银行和其他金融机构开创性地设计了许多非标准的衍生证券,称之为新型期权(exoticoptionorexotics)。有些非标准衍生证券只是两个或更多的普遍看涨期权和看跌期权的组合,有一些则较复杂。常见的新型期权有:打包期权、非标准美式期权、远期开始期权、复合期权、任选期权、
6、4障碍期权、两值期权、回望期权、亚式期权、资产交换期权、多种标的资产的期权等。期权的基本特征是它给予合约持有人一种权利而非义务,如果期权的购买者认为现行的市场价格比合约中的执行价格对他有利,他就会放弃对期权合约的执行,这使得期权有别于远期合约和期货合约,后者赋予持有人到期履约的义务,期权的这一特性使期权持有人的交易风险被限在某一水平之内,从而形成一种防范和规避风险的有效手段。由于期权对持有人具有这一优势,使得期权合约不能像远期合约和期货合约那样可以免费达成,期权持有人为了取得这一权利,必须支付一定数量的保险金,这些保险金正是期权这一衍生产品的价格。期权的价格实际上是一种风险价格,受到诸
7、如标的资产的当前价格、执行价格、期权的期限、标的资产的价格波动率和无风险利率等因素的影响。期权价格包含期权的内涵价值和时间价值。内涵价值是立即执行期权后可以获取的利润总额。时间价值是人们在持有期权的时期,对期权价格向有利于自己交易头寸方向变化预期的支付。期权价格的高低直接影响到买卖双方的盈亏状况,是期权交易的核心问题。要对风险进行有效的管理,就必须对期权进行正确的定价,而如何通过合理的数学模型来确定期权的价格就成了投资者应用期权规避金融风险的关
