备战2021届高考数学二轮复习热点难点突破专题13 创新型问题（解析版）.docx

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1、专题13创新型问题专题点拨1.创新型数学问题，主要涉及两大类：一类是创造性地综合运用已有的数学知识经验解决新情境问题或陌生的问题；另一类是发现新问题(或提出新问题)并解决提出的新问题.不论是哪一类创新型数学问题，都需要强化阅读理解,充分研究问题的条件和结论之间的联系，运用数学知识方法，发现解题策略，展开充分的数学推理，完成数学问题提出的研究目标．2．创新型数学问题常见的问题类型：(1)构造型问题：一般需要构造不等式、方程、代数式、函数、图形等加以解决的问题；(2)归纳猜想型问题：通过归纳--猜想---证明实现从特殊到一般

2、的推理论证；(3)新概念型问题：问题情境给出新定义、新法则(公式、原理)，考察学习者的及时学习能力，一般需要先理解新概念，再运用新概念解决问题；存在判断型：这类问题常见的有：①探究给定的结论是否成立；②探究符合条件的数学对象是否存在；③类比已有结论探索获得的新命题是否成立；(4)探究性问题：探究一类问题的解题策略，或是探究给定命题是否正确，或可否进一步推广．总之，解决创新型数学问题，既需要阅读理解问题情境,也需要综合运用逻辑思维与直觉思维、演绎推理与合情推理，需要运用特殊与一般、归纳与类比等数学思维方式解决问题．例题剖析

3、【例1】称项数相同的两个有穷数列对应项乘积之和为这两个数列的内积，设：数列甲：x1，x2，…，x5为递增数列，且xi∈N*（i＝1，2，…，5）；数列乙：y1，y2，y3，y4，y5满足yi∈{﹣1，1}（i＝1，2，…，5）则在甲、乙的所有内积中（　　）A．当且仅当x1＝1，x2＝3，x3＝5，x4＝7，x5＝9时，存在16个不同的整数，它们同为奇数B．当且仅当x1＝2，x2＝4，x3＝6，x4＝8，x5＝10时，存在16个不同的整数，它们同为偶数C．不存在16个不同的整数，要么同为奇数，要么同为偶数D．存在16个不同

4、的整数，要么同为奇数，要么同为偶数【答案】D【解析】对于A，取特例x1＝1，x2＝2，x3＝3，x4＝4，x5＝5时，此时内积可能为：-15，-13，-11，-9，-7，-5，-3，-1，1，3，5，7，9，11，13，15，16个都是奇数，所以A不对，对于B，取特例x1＝1，x2＝2，x3＝3，x4＝4，x5＝6时，此时内积可能为：-16，-14，-12，-10，-8，-6，-4，-2，2，4，6，8，10，12，14，16，16个都是偶数，所以B不对，对于C，由A，B可知存在16个整数，要么同为奇数，要么同为偶数，所

5、以C不对，故选：D．【例2】已知数列1、1、2、1、2、4、1、2、4、8、1、2、4、8、16、…，其中第一项是20，接下来的两项是20、21，再接下来的三项是20、21、22，以此类推，若N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂，则N的最小值为（　　）A．440B．330C．220D．110【答案】A【解析】由题意可知：第一项，1＝20；第二项，20，21；第三项，20，21，22；…；第n项，20，21，22，…，2n﹣1；根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：21﹣1，22﹣1，23﹣1，…，2n﹣1；每项

6、含有的项数为：1，2，3，…，n；总共的项数为N＝1+2+3+…+n=n(n+1)2；所有项数的和为Sn＝（21﹣1）+（22﹣1）+（23﹣1）+…+（2n﹣1）＝（21+22+23+…+2n）﹣n=2(1-2n)1-2-n＝2n+1﹣2﹣n，由题意可知：2n+1为2的整数幂，只需将﹣2﹣n消去即可，则①1+2+（﹣2﹣n）＝0时，解得n＝1，总共有(1+1)×12+2＝3项，不满足N＞100，②1+2+4+（﹣2﹣n）＝0时，解得n＝5，总共有(1+5)×52+3＝18项，不满足N＞100，③1+2+4+8+（﹣2﹣

7、n）＝0时，解得n＝13，总共有(1+13)×132+4＝95项，不满足N＞100，④1+2+4+8+16+（﹣2﹣n）＝0时，解得n＝29，总共有(1+29)×292+5＝440项，满足N＞100，∴N的最小值为440．故选：A．【例3】在投票评选活动中，经常采用简单多数原则或积分原则．简单多数原则指n个评委对k个候选人进行一次表决，各自选出认为最佳的人选，按每个候选人所得票数不同决定不同名次；积分原则指每个评委先对k个候选人排定顺序，第一名得k分，第二名得k﹣1分…，依此类推，最后一名得1分，每个候选人最后的积分多少

8、决定各自名次．右表是33个评委对A、B、C、D四名候选人做出的选择，则按不同原则评选，名次不相同的候选人是　　【答案】A、C【解析】按简单多数原则排名，A的得票数为：7+3＝10，B的得票数为：9，C的得票数为：6+5＝11，D的得票数为：3，∴第一名为C，第二名为A，第三名为B，第四名为D；按积分原则排名，A的得分