备战2021届高考数学二轮复习热点难点突破专题14 函数与方程思想（解析版）.docx

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1、专题14函数与方程思想专题点拨函数与方程是中学数学的重要概念，它们之间有着密切的联系．函数与方程的思想是中学数学的基本思想，主要依据题意，构造恰当的函数，或建立相应的方程来解决问题，是历年高考的重点和热点．函数的思想是对函数概念的本质认识，就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题．方程的思想是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题．方程思想动中求静，研究运动中的等量关系．函数和方程是密切相关的，对于函数y＝f(x)，当y＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函

2、数式y＝f(x)看作二元方程y－f(x)＝0.函数问题(例如求函数的值域等)可以转化为方程问题来求解，方程问题也可以转化为函数问题来求解，如解方程f(x)＝0，就是求函数y＝f(x)的零点．(1)函数的零点与方程根的关系根据函数零点的定义可知：函数f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根．因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断相应的方程f(x)＝0是否有实数根，有几个实数根．(2)数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要．(3)解析几何中的许多问题，例如直线和二次

3、曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论．(4)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决．例题剖析一、函数与方程思想在求函数零点中的应用【例1】已知函数f(x)＝则函数g(x)＝2f(x)－2的零点个数为________个．【答案】　2　【解析】　g(x)＝2

4、x

5、f(x)－2的零点个数，即是方程f(x)＝的根的个数，也就是y＝f(x)与y＝的图像的交点个数，分别作出y＝f(x)与y＝的图像，如图所示，由图像知y＝f(

6、x)与y＝的图像有两个交点，所以函数g(x)有2个零点．【变式训练1】若定义在R上的函数y＝f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[－1,1]时，f(x)＝x2，函数，则函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5,5]内的零点的个数为.【答案】8【解析】∵f(x＋1)＝－f(x)，∴f(x＋2)＝f(x)，又x∈[－1，1]时，f(x)＝x2，∴f(x)的图象如图所示，在同一坐标系中作出函数g(x)的图像，可见y＝f(x)(－5≤x≤5)与y＝2x(x≤1)有5个交点，y＝f(x)(－5≤x≤5)与y＝

7、log3(x－1)(x>1)的图象有3个交点，∴共有8个交点．二、函数与方程思想在求最值或求参数范围中的应用【例2】已知a、b、c∈R，a＋b＋c＝0，a＋bc－1＝0，求a的取值范围．【解析】　把所要求的问题转化成一元二次方程求解．因为b＋c＝－a，bc＝1－a，∴b、c是方程x2＋ax＋1－a＝0的两根，∴Δ＝a2－4(1－a)≥0，即Δ＝a2＋4a－4≥0，解得a≥－2＋2或a≤－2－2.【变式训练2】已知a、b是正数，且满足ab＝a＋b＋3，求ab的取值范围．【解析】　方法一：(看成函数的值域)∵ab＝

8、a＋b＋3，∴a≠1，∴b＝，而b>0，∴>0，即a>1或a<－3，又a>0，∴a>1，故a－1>0.∴ab＝a·＝＝(a－1)＋＋5≥9.当且仅当a－1＝，即a＝3时取等号．又a>3时，(a－1)＋＋5是关于a的单调增函数．∴ab的取值范围是[9，＋∞)．　方法二：(看成不等式的解集)∵a，b为正数，∴a＋b≥2，又ab＝a＋b＋3，∴ab≥2＋3.即()2－2－3≥0，解得≥3或≤－1(舍去)，∴ab≥9.∴ab的取值范围是[9，＋∞)．　方法三：(看成方程的根)若设ab＝t，则a＋b＝t－3，∴a、b可看

9、成方程x2－(t－3)x＋t＝0的两个正根．从而，即，解得t≥9，即ab≥9.∴ab的取值范围是[9，＋∞)．【例3】已知二次函数（R，0）．(1)当０＜＜时，（Ｒ）的最大值为，求的最小值；(2)如果[0，1]时，总有

10、

11、．试求的取值范围．【解析】(1)可算得.，.又，.(2),解得.【变式训练3】已知函数f(x)＝2cos2x＋cosx－1，g(x)＝cos2x＋a(cosx＋1)－cosx－3.若y＝f(x)与y＝g(x)的图像在(0，π)内至少有一个公共点．试求a的取值范围．【解析】　y＝f(x)与y＝g

12、(x)的图像在(0，π)内至少有一个公共点，即有解，即令g(x)＝f(x)，cos2x＋a(cosx＋1)－cosx－3＝2cos2x＋cosx－1，a(1＋cosx)＝(cosx＋1)2＋1.∵x∈(0，π)，∴0<1＋cosx<2.∴a＝1＋cosx＋≥2.当且仅当1＋cosx＝，即cosx＝0时等号成立．∴当a≥2时，y＝f(x)与y＝g(x)在(0，π)内有解，即y＝f(x)与