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时间:2021-02-07
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1、24.3正多边形和圆(一)课时安排:1课时授课教师:授课班级:九年级班 授课时间:年月日教学目标1.了解正多边形和圆的有关概念;理解并掌握正多边形的中心、半径边心距、中心角之间的概念2.能正多边形的知识解决圆的有关计算问题3.进一步渗透“特殊——一般”再“一般——特殊”的唯物辩证思想,体会化归思想在研究问题中的运用。教学重点:理解正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、边心距、边长之间的关系.并能进行计算。教学难点:探索正多边形与圆的关系.教学方法:渗透“特殊——一般”再“一般——特殊”的唯物辩证思想,体会化归思想在研究问题中的运用。教学过程一、复习引入请同学们口答下面两个问
2、题.1.什么叫正多边形?2.从你身边举出两三个正多边形的实例,正多边形具有轴对称、中心对称吗?其对称轴有几条,对称中心是哪一点?老师点评:1.各边相等,各角也相等的多边形是正多边形.2.实例略.正多边形是轴对称图形,对称轴有无数多条;正多边形是中心对称图形,其对称中心是正多边形对应顶点的连线交点.二、探索新知如果我们以正多边形对应顶点的交点作为圆心,过点到顶点的连线为半径,能够作一个圆,很明显,这个正多边形的各个顶点都在这个圆上,如图,正六边形ABCDEF,连结AD、CF交于一点,以O为圆心,OA为半径作圆,那么肯定B、C、D、E、F都在这个圆上.因此,正多边形和圆的关系十分
3、密切,只要把一个圆分成相等的一些弧,就可以作出这个圆的内接正多边形,这个圆就是这个正多边形的外接圆.我们以圆内接正六边形为例证明.如图所示的圆,把⊙O分成相等的6段弧,依次连接各分点得到六边形ABCDEF,这个六边形一定是正六边形吗?如果是,请证明这个结论.(略)思考1.六边形的角在圆中是什么角?思考2.每一个圆周角所对的弧有什么特点?问题2:如果将圆n等分,依次连接各分点得到一个n边形,这个n边形一定是正n边形吗?问题3:各边相等的圆内接多边形是正多边形吗?各角相等的圆内接多边形是正多边形吗?如果是,说明为什么?如果不是,举出反例。为了今后学习和应用的方便,我们把一个正多边
4、形的外接圆的圆心叫做这个多边形的中心.外接圆的半径叫做正多边形的半径,正多边形的每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角,中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距例1.已知正六边形ABCDEF,如图所示,其外接圆的半径是a,求正六边形的周长和面积.分析:要求正六边形的周长,只要求AB的长,已知条件是外接圆半径,因此自然而然,边长应与半径挂上钩,很自然应连接OA,过O点作OM⊥AB垂于M,在Rt△AOM中便可求得AM,又应用垂径定理可求得AB的长.正六边形的面积是由六块正三角形面积组成的.分析:要求正六边形的周长,只要求AB的长,已知条件是外接圆半径,因此自然而然,边长应与
5、半径挂上钩,很自然应连接OA,过O点作OM⊥AB垂于M,在Rt△AOM中便可求得AM,又应用垂径定理可求得AB的长.正六边形的面积是由六块正三角形面积组成的.解:如图所示,由于ABCDEF是正六边形,所以它的中心角等于=60°,△OBC是等边三角形,从而正六边形的边长等于它的半径.因此,所求的正六边形的周长为6a在Rt△OAM中,OA=a,AM=AB=a利用勾股定理,可得边心距OM==a∴所求正六边形的面积=6××AB×OM=6××a×a=a2P105例(略)三、巩固练习教材P105练习1、2、3题P107复习巩固1、4题.四、应用拓展例3.在直径为AB的半圆内,划出一块三角
6、形区域,如图所示,使三角形的一边为AB,顶点C在半圆圆周上,其它两边分别为6和8,现要建造一个内接于△ABC的矩形水池DEFN,其中D、E在AB上,如图24-94的设计方案是使AC=8,BC=6.(1)求△ABC的边AB上的高h.(2)设DN=x,且,当x取何值时,水池DEFN的面积最大?(3)实际施工时,发现在AB上距B点1.85的M处有一棵大树,问:这棵大树是否位于最大矩形水池的边上?如果在,为了保护大树,请设计出另外的方案,使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树.分析:要求矩形的面积最大,先要列出面积表达式,再考虑最值的求法,初中阶段,尤其现学的知识,应
7、用配方法求最值.(3)的设计要有新意,应用圆的对称性就能圆满解决此题.解:(1)由AB·CG=AC·BC得h==4.8(2)∵h=且DN=x∴NF=则S四边形DEFN=x·(4.8-x)=-x2+10x=-(x2-x)=-[(x-)2-]=-(x-2.4)2+12∵-(x-2.4)2≤0∴-(x-2.4)2+12≤12且当x=2.4时,取等号∴当x=2.4时,SDEFN最大.(3)当SDEFN最大时,x=2.4,此时,F为BC中点,在Rt△FEB中,EF=2.4,BF=3.∴BE==1.8∵BM=1.8
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