“全等三角形”单元小结与复习.doc

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1、“全等三角形”单元小结与复习一、主干知识梳理二、综合创新应用例1、如图所示，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F．求证：DE=DF．证明：连结AD，　　在△ABD和△ACD中，　　　　∴△ABD≌△ACD，　　∴∠1=∠2．　　又∵DE⊥AB，DF⊥AC，　　∴DE=DF．例2、如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且ED⊥FD．求证：．分析：由D点为AB的中点可知△ACD，△BCD的面积都等于△AB

2、C的面积的一半．因此可采用割补法证明．证明：连结CD．∵在Rt△ABC中，　　∠ACB=90°，AC=BC，D为AB的中点，　　∴△ACD≌△BCD　　∴∠ADC=∠BDC　　且∠A＝∠B＝45°　　又∵∠ADC＋∠BDC＝180°　　∴∠ADC=∠BDC=90°　　∴∠BCD＝90°－∠B＝45°＝∠B　　∴∠ACD＝90°－∠A＝45°＝∠A　　∴AD=BD=CD，　　又∵ED⊥FD，∴∠EDC＋∠CDF=90°　　∵∠ADE＋∠EDC=90°　　∴∠ADE=∠CDF．　　在△ADE和△CDF中，　　　

3、　∴△ADE≌△CDF　　∴S△ADE=S△CDF　　同理可证：S△CDE=S△BDF　　∴．例3、在△ABC中，请证明：　　（1）若AD为角平分线，则　　　　　　（2）设D是BC上一点，连接AD，若，则AD为角平分线．分析：如图，（1）由三角形的面积及底边联想到作三角形的高，作DE⊥AB于E，作DF⊥AC于F，则DE=DF，即结论①成立；②由①结合△ABD与△ACD是共高三角形，即可得到结论．　　（2）逆用上述的思路即可证明结论成立．证明：（1）①如图，过D作DE⊥AB于E，作DF⊥AC于F．　　　　∵A

4、D为角平分线，∴DE=DF　　　　∴．　　②如图，过A作AH⊥BC于H，　　　　则S△ABD=BD·AH，　　　　S△ACD=CD·AH，　　　　∴　　　　结合①有（2）作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．　　　∵．　　　∴DE︰DF=1，即DE=DF　　　∴AD为△ABC的角平分线．例4、（2004·福州）三月三，放风筝，如图是小明制作的风筝，他根据DE=DF，EH=FH，不用度量，就知道∠DEH=∠DFH．请你用所学知识给予证明．分析：证明∠DEH=∠DFH，实质上就是证明两个三角形全等，根据SSS则不难

5、证明△DEH≌△DFH．证明：连接DH，在△DEH与△DFH中　　∴△DEH≌△DFH　　∴∠DEH=∠DFH例5、如图是城市部分街道示意图，AB=BC=CA，CD=CE=DE，∠ACB=∠DCE=60°，A、B、C、D、E、F、G、H为“公汽停靠点”，甲公汽从A站出发．按照A、H、G、D、E、C、F的顺序到达F站，乙公汽从B站出发，沿B、F、H、E、D、C、G的顺序到达G站，如果甲、乙两公汽分别从A、B站出发，在各站耽误的时间相同，两车的速度也一样，试问哪一辆公汽先到达指定站？为什么？解：∵∠1＋∠2＋∠

6、3=180°，∠1=∠2=60°，　　∴∠3=60°，　　∴∠ACD=∠BCE=120°．　　在△ACD和△BCE中　　　　∴△ACD≌△BCE，　　∴AD=BE，∠5=∠4．　　在△ACG和△BCF中　　　　∴△ACG≌△BCF，　　∴CG=CF．　　又∵甲公汽行驶的路程为：AD＋DE＋EC＋CF，　　乙公汽行驶的路程为：BE＋ED＋CD＋CG，EC=CD，　　∴AD＋DE＋EC＋CF=BE＋ED＋CD＋CG，　　∴甲、乙两公汽行驶的路程相等，而甲、乙两公汽的行驶速度也一样，　　故甲、乙两公汽同时到达指定

7、站．