对数函数（一）讲（教师版）.doc

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1、第二十一章基本初等函数(Ⅰ)第二节对数函数第一课时对数与对数运算【教学目标】1．理解并记忆对数的定义，对数与指数的互化，对数恒等式及对数的性质．2．理解并掌握对数运算法则的内容及推导过程．3．熟练运用对数的性质和对数运算法则解题．4．对数的初步应用.【教法指导】本节重点是对数定义、对数的性质和运算法则；难点是对数定义中涉及较多的难以记忆的名称，以及运算法则的推导。本节知识的主要学习方法是：动手与观察，思考与交流，归纳与总结。加强新旧知识之间的联系，培养自己分析问题、解决问题的能力，从而获得学习数学的方法。【教学过程】☆情境引入☆1、(自学、思考)已

2、知国民生产总值每年平均增长率为7.2％，求20年后国民生产总值是原来的多少倍？设原来国民生产总值为1，则20年后国民生产总值y=（1+7.2％）20=1.07220，所以20年后国民生产总值是原来的1.07220倍．这是个实际应用问题，我们把它转化为数学中知道底数和指数，求幂值的问题．也就是上面学习的指数问题．2、(自学、思考)已知国民生产总值每年平均增长率为7.2％，问经过多年年后国民生产总值是原来的4倍？仿照上例，设原来国民生产总值为1，需经x年后国民生产总值是原来的4倍．列方程得:1.072x=4．我们把这个应用问题转化为知道底数和幂值，求指

3、数的问题，这是上述问题的逆问题，即本节的对数问题．☆探索新知☆1、探索对数的定义及其相关概念．〖探究活动〗（1）什么叫底数，什么叫真数？（2）对数式与相应的指数式有什么联系？2、探索对数的运算法则．（3）对数的运算法则有哪些？如何证明？【教师释疑】（1）式子x=logaN中，a叫做对数的底数，N叫做真数，（2）对数式是用N来表示x，指数式是用x来表示N，（3）见下文四个运算法则及证明．定义：一般地，如果a（a＞0，a≠1）的x次幂等于N，就是，那么数x就叫做以a为底N的对数(logarithm)，记作x=logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数

4、，式子logaN叫做对数式．对数logaN（a＞0且a≠1）在底数a=10时，叫做常用对数(commonlogarithm)，简记lgN；底数a=e时，叫做自然对数(naturallogarithm)，记作lnN，其中e是个无理数，即e≈2.71828……．对数的运算法则及证明：（1）正因数积的对数等于同一底数各个因数的对数的和，即loga（MN）=logaM+logaN．证明：设logaM=p，logaN=q，由对数的定义可以写成M=ap，N=aq．所以M·N=ap·aq=ap+q，所以loga（M·N）=p+q=logaM+logaN．即log

5、a（MN）=logaM+logaN．（2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数．证明：设logaM=p，logaN=q．根据对数的定义可以写成M=ap，N=aq．所以（3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数．即loga（N）n=n·logaN．（4）正数的正的方根的对数等于被开方数的对数除以根指数．即【思考与交流】1、为什么概念中规定a＞0，a≠1？2、为什么概念中N＞0？解：1、因为若a＜0，则N取某些值时，x可能不存在，如x=log（-2）8不存在；若a=0，则当N不为0时，x不存在，如log02不存在；当N为0时，x可以为

6、任何正数，是不唯一的，即log00有无数个值；若a=1，N不为1时，x不存在，如log13不存在，N为1时，x可以为任何数，是不唯一的，即log11有无数多个值．因此，我们规定：a＞0，a≠1．2、在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，因而ax=N中N总是正数．零和负数没有对数．〖探究活动〗学生自主学习对数的运算法则，通过证明理解公式，然后运用公式解决问题．〖教师释疑〗在学生证明过程中，协助解决可能出现的问题（比如运算问题）．对学生回答加以点评.总结：（1）证明的核心思路是利用把对数式根据定义转换成相应的指数式.（2）在整理的过程中要注意运算的准确

7、性.☆经典题型☆题型一：指数式与对数式互化(1)将对数式log27＝－3化为指数式；(2)将指数式()－2＝16化为对数式；解析：　(1)因为log27＝－3，所以()－3＝27；(2)因为()－2＝16，所以log16＝－2；题型二：含对数式的运算(1)求式子log2(log5x)＝0中的x；(2)计算4(log29－log25)．解析：(1)因为log2(log5x)＝0，所以log5x＝1，所以x＝5；(2)原式＝2log29－log25＝＝.☆易错点☆已知lgx＋lgy＝21g(x－2y)，求log的值．[错解]　因为lgx＋lgy＝2lg

8、(x－2y)，所以xy＝(x－2y)2，即x2－5xy＋4y2＝0.所以(x－y)(x－4y)＝0，解得x＝y或x＝4y.