数列叠加叠乘构造求通项公式通案 3课时.doc

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1、叠加法求通项：(1)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋2n；【解析】　(1)由an＋1－an＝2n，把n＝1,2,3，…，n－1(n≥2)代入，得(n－1)个式子，累加即可得(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝2＋22＋23＋…＋2n－1，所以an－a1＝即an－a1＝2n－2，所以an＝2n－2＋a1＝2n－1.当n＝1时，a1＝1也符合，所以an＝2n－1(n∈N*)．跌乘法求通项：(2)在数列{an}中，an＋1＝an，a1＝4；(2)由递推关系an＋1＝an，a1＝4，有＝，于是有＝3，

2、＝，＝，…，＝，＝，将这(n－1)个式子累乘，得＝.所以当n≥2时，an＝a1＝2n(n＋1)．构造数列求通项：(3)在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝2an＋1(3)由an＋1＝2an＋1得an＋1＋1＝2(an＋1)，令bn＝an＋1，所以{bn}是以2为公比的等比数列．所以bn＝b1·2n－1＝(a1＋1)·2n－1＝2n＋1，所以an＝bn－1＝2n＋1－1(n∈N*)．变式练习：1.已知数列{an}满足a1＝1，an＝3n－1＋an－1(n≥2，n∈N*)，求通项公式an.答案an＝2．已知数列{an}中，a1

3、＝1，an＋1＝an·，其中(n∈N*)，求an.【解析】　(累乘法)由已知＝，(n∈N*)∴an＝a1··…＝1··…＝.3.在数列{an}中，an＋1＝，a1＝3.解析：由已知，an>0，在递推关系式两边取对数，有lgan＋1＝2lgan＋lg3.令bn＝lgan，则bn＋1＝2bn＋lg3.所以bn＋1＋lg3＝2(bn＋lg3)，所以{bn＋lg3}是等比数列．所以bn＋lg3＝2n－1·2lg3＝2nlg3.所以bn＝2nlg3－lg3＝(2n－1)lg3＝lgan.所以an＝3(n∈N*)．4在数列{an}中，a

4、1＝2，an＋1＝an＋ln(1＋)，则an＝(　　)A．2＋lnnB．2＋(n－1)lnnC．2＋nlnnD．1＋n＋lnn【解析】　法一　由已知，an＋1－an＝ln，a1＝2，∴an－an－1＝ln，∴an－1－an－2＝ln，…….a2－a1＝ln，将以上n－1个式子累加得：an－a1＝ln＋ln＋…＋ln＝ln(··…·)＝lnn.∴an＝2＋lnn．故选A.法二　由a2＝a1＋ln2＝2＋ln2，排除C、D；由a3＝a2＋ln(1＋)＝2＋ln3，排除B.故选A.5．设数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n

5、＋1，则通项an＝________.【解析】　由an＋1＝an＋n＋1，∴an＋1－an＝n＋1，∴a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，…，an－an－1＝n，∴累加得an－a1＝2＋3＋…＋n，an＝a1＋－1，∴an＝＋1.【答案】　＋1类型三：利用Sn与an的关系求通项公式已知数列{an}的前n项和Sn，求{an}的通项公式．(1)Sn＝2n2－5n；(2)Sn＝3n＋b.【解析】　(1)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－5n－2(n－1)2＋5(n－1)＝4n－7；当n＝1时，a1＝S1＝－3；a

6、1＝－3适合an＝4n－7，所以an＝4n－7.(2)当n≥2时，an＝3n＋b－3n－1－b＝2·3n－1，当n＝1时，a1＝S1＝3＋b，所以当b＝－1时，a1＝3－1＝2适合an＝2·3n－1.所以an＝2·3n－1.当b≠－1时，a1＝3＋b不适合an＝2·3n－1，所以an＝变式练习：1.已知数列{an}的前n项和Sn满足log2(1＋Sn)＝n＋1，求数列的通项公式；2已知an>0，＝，求{an}的通项公式．【解析】　(1)由已知得Sn＝2n＋1－1，当n＝1时，a1＝S1＝3；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝

7、2n＋1－1－(2n－1)＝2n，∴an＝.(2)由＝得Sn＝，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－，∴8an＝(an＋an－1＋4)(an－an－1)，∴(an＋an－1)(an－an－1－4)＝0，∵an>0，∴an＋an＋1>0，∴an－an－1－4＝0，即an－an－1＝4，∴数列{an}为等差数列，且公差d＝4.又a1＝S1＝，∴a1＝2，∴an＝2＋4(n－1)＝4n－2.类型一：分组求和法已知数列{an}的通项公式为an＝(－1)n－1·n，则其前n项和Sn＝________.【解析】　法一：Sn＝1－2＋3－

8、4＋…＋(－1)n－1·n①当n＝2k(k∈N*)时，Sn＝(1－2)＋(3－4)＋…＋[(2k－1)－2k]∴Sn＝.法二：①当n为偶数时，Sn＝1－2＋3－4＋…＋(n－1)－n＝[1＋3＋…＋(n－1)]－(2＋4＋…＋n)＝·－·＝－.②当n为奇数时，Sn＝1－2＋3－4＋5－6＋