【数学】3.3.2《函数的极值、最值与导数》教案.doc

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1、§3.3.2-3函数的极值与最大（小）值与导数【成功细节】叶枝谈导数的计算的方法2007年江苏省文科状元叶枝本节主要研究函数的极值、最值与函数导数之间的关系，导数作为研究函数的一种重要工具，在学习时应引起充分重视，这部分知识点不多，但涉及的题型比较多，在学习过程中我认为应该注意以下几个方面的问题：（1）理解函数极值的概念，函数极值刻画的是函数的局部性质，而函数的最值刻画的是函数的整体性质；（2）注意比较极值与最值的概念以及它们之间的联系，可导函数在极值点两侧导函数的符号相反，极大值不一定是最大值，极大值可能小于极小值，连续可导函数闭区间上的最

2、值就是端点值与极值中的最大值、最小值等结论要熟练准确记忆；（3）可导函数有极值是该点处的导数值等于零的充分不必要条件，如函数，为R上的增函数，不存在极值点，但；（4）若函数不可导，也可能存在极值，如在处不可导，但是函数的一个极小值；（5）要熟练掌握求解函数极值与最值的方法．如（2007年江苏13题）已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，则＿＿．本题主要考查函数在闭区间上的最值的概念以及求解方法，解题时，我先利用导数求解函数在这个区间内的极值，因为，由求得，或，而，，再求出函数在闭区间上的端点值，，，所以函数在闭区间上的最大值等于，最小值，所

3、以.【高效预习】（核心栏目）“要养成学生阅读书籍的习惯就非教他们预习不可”。——叶圣陶【领会·感悟】1.函数在某点处的导数值等于零，该点不一定是函数的极值点，必须检验函数在该点两侧的符号是否相异.如函数，虽然在处的导数值等于零，但该点不是函数的极值点，因为函数定义域R上是增函数。【精读·细化】1.用10分钟的时间详细阅读教材93～96页,理解函数极小值与极大值的概念，可导函数的导数在极值点两侧的符号同号还是异号？在函数图象上是如何体现的？函数在某点有极值与该点处的导数值为零有什么关系？细节提示:函数的极值刻画的是局部性质，可导函数在此点两侧的

4、导数符号相异，存在极值点的函数图象有拐点。【关注·思考】2.阅读教材第96—98页,理解最小值和最大值的概念?这些概念与极大值或极小值有什么关系？细节提示:最值刻画的是函数在某个闭区间上的一个整体性质，而极值缺某点附近的是一个局部性质。【提升·解决】2.最值的求解可以把所有的极值点和端点处的函数值求解出来，然后相互比较即可.【学习细节】（核心栏目）A．基础知识导数的计算知识点1函数极值与导数【情景引入】如图为表示高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数的图象，我们发现，时，高台跳水运动员距水面高度最大．那么，函数在此点的导数是多少呢？此点附近

5、的图像有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？【探究】如图，放大附近函数的图像，可以看出；在，当时，函数单调递增，；当时，函数单调递减，；这就说明，在附近，函数值先增（，）后减（，）．这样，当在的附近从小到大经过时，先正后负，且连续变化，于是有．【思考】对于一般的函数，是否也有这样的性质呢？【想一想】如图，函数在处的函数值与这两个点附近的函数值有什么关系？在这两个点处的导数值是多少？在这两个点附近，的导数的符号有什么规律？【探究】由函数图象可知，函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，；而且在点附近左侧，，在点附近右侧，.函数在

6、点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，；而且在点附近左侧，，在点附近右侧，.我们把图中的点叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值；点叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值.【总结】设函数在点附近有定义，如果对附近的所有的点，都有，则称是函数的一个极大值，记作极大值＝；如果对附近的所有的点，都有，则称是函数的一个极小值，记作极小值=．极大值与极小值统称为极值（extremevalue）．【想一想】如图为函数的图象，是否为函数的极值点？如果是，请分析原因，如果不是，是说明理由.【探究】由函数图象可知，函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小

7、，；而且在这些点附近左侧，，在这些点附近右侧，，由极值的定义可知这些点为函数的极小值点，对应的函数值为函数的极小值；函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，；而且在这些点附近左侧，，在这些点附近右侧，.由极值的定义可知这些点为函数的极大值点，对应的函数值为函数的极大值.知识拓展1．极值是一个局部概念，由定义可知，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；2．函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；3．极大值与极小值之间无确定的大小关系

8、，即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，是极大值点，是极小值点，而>；4．函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。【提示】对极大、极小值