2020_2021学年高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.4.2充要条件课件新人教A版必修第一册20201221135.pptx

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1、1.4.2充要条件第一章集合与常用逻辑用语学习目标：1.理解充充要条件的意义；2.会判断充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件.教学重点：对充分、必要、充要条件的判断与证明.教学难点：对充分、必要、充要条件的判断与证明，并根据不同条件求参数的值或范围.复习命题的充分条件和必要条件的定义？如果p可以推出q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件.逆命题定义：命题“若p，则q”的逆命题为“若q，则p”.（也就是将命题“若p，则q”中的条件p与结论q互换，得到一个新的命题“若p，则q”，

2、称这个命题为原命题的逆命题.）思考一下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？(1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等；原命题和逆命题均为真.(2)若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；逆命题：若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；原命题为真，逆命题为假.(3)若一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，则ac<0；逆命题：若ac<0，则一元二次方程ax

3、2+bx+c=0有两个不相等的实数根；原命题是假的，逆命题是真的(4)若A∪B是空集，则A与B均是空集.逆命题：若A与B均是空集，则A∪B是空集.原命题和逆命题都是真的.探究：充要条件1.定义：如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题,此时既有,又有,就记作.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们就说p是q的充分必要条件，简称为充要条件.此时p与q互为充要条件.2.p与q互为充要条件时，也称“p等价于q”“q当且仅当p”等.3.根据充要条件的定义可知，若原命题“若p，则q”及其逆命

4、题“若q，则p”都是真命题，则p与q互为充要条件.例3下列各题中，哪些p是q的充要条件？(1)p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分；解：(1)因为对角线互相垂直且平分的四边形不一定是正方形（也可能是菱形），所以，所以p不是q的充要条件.(2)p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例；解：因为“若p，则q”是相似三角形的性质定理，“若q，则p”是相似三角形的判定定理，所以它们均为真命题，即，所以p是q的充要条件.(3)p：xy>0，q：x>0，y>0；解：因为xy>0时，x>0，y>0

5、不一定成立（因为xy>0时，也可能x<0，y<0），所以，所以p不是q的充要条件.(4)p：x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根，q：a+b+c=0（a≠0）.解：因为“若p，则q”与“若q，则p”均为真命题，即，所以p是q的充要条件.小结在命题中“若p，则q”中，如何判断p与q互为充要条件？只要判断出，且，即即可，其实质都是判断命题“若p，则q”与它的逆命题的真假，若都为真，则p与q互为充要条件.例4已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d.求证：d=r是直线l与⊙O相切的充要条件.

6、分析：设p：d=r，q：直线l与⊙O相切.要证p是q的充要条件，只需分别证明充分性（）和必要性（）即可.证明：设p：d=r，q：直线l与⊙O相切.(1)充分性()：如图1.4-2，作OP⊥l于点P，则OP=d.若d=r，则点P在⊙O上.在直线l上任取一点Q（异于点P），连接OQ.在Rt∆OPQ中，OQ>OP=r.所以，除点P外直线l上的点都在⊙O的外部，即直线l与⊙O仅有一个公共点P，所以直线l与⊙O相切.(2)必要性()：若直线l与⊙O相切，不妨设切点为P，则OP⊥l.因此，d=OP=r.由(1)(2

7、)可得，d=r是直线l与⊙O相切的充要条件.规律总结：1.设原命题为“若p，则q”，则逆命题为“若q，则p”，得p与q的关系有以下四种情形原命题逆命题p与q的关系结论真假，但p是q的充分不必要条件；q是p的必要不充分条件假真，但p是q的必要不充分条件；q是p的充分不必要条件真真且，即p与q互为充要条件假假且p是q的既不充分也不必要条件；q是p的既不充分也不必要条件2.充分条件与必要条件的传递性充分、必要、充要条件都具有传递性，具体如下：(1)若，，则有，即p是s的充分条件；(2)若，，则有，即p是s的必

8、要条件；(3)若，，则有，即p是s的充要条件.练一练1.下列各题中，哪些p是q的充要条件？（1）p：三角形为等腰三角形，q：三角形存在两角相等；（2）p：⊙O内两条弦相等，q：⊙O内两条弦所对的圆周角相等；（3）p：A∩B为空集，q：A与B之一为空集.解:(1)，所以p是q的充要条件；(2)⊙O内两条弦相等，它们所对的圆周角相等或互补，因此，，所以p不是q的充要条件；(3)取A={1，2}，B={3}，显然，A∩B=∅，但A与B均不为空集，