2020_2021学年高中数学第一章立体几何初步1.7.3球的表面积和体积学案含解析北师大版必修2.doc

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1、7．3　球的表面积和体积考　纲　定　位重　难　突　破1.了解球的体积、表面积公式．2.会用球的体积和表面积公式解决实际问题.重点：利用球的表面积公式和球的体积公式解决几何体的度量问题．难点：球的截面的性质，运用球的表面积和体积公式灵活解决生活中的实际问题.授课提示：对应学生用书第28页[自主梳理]一、球的截面球面被经过球心的平面截得的圆叫作球的大圆；被不经过球心的平面截得的圆叫作球的小圆．二、球的切线与圆类似，当直线与球有唯一交点时，称直线与球相切，其中它们的交点称为直线与球的切点．三、球的表面积与体积公式[双基自测]1．用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为(　

2、　)A.　　　　　　　　　B.πC．8πD.解析：截面面积为π，则该小圆的半径为1.设球的半径为R，则R2＝12＋12＝2，∴R＝.∴V球＝πR3＝π，故选B.答案：B2．若球的半径扩大为原来的3倍，则它的表面积扩大为原来的几倍(　　)A．1B．3C．9D．27解析：设球的半径为R，则4π(3R)2＝36πR2，所以当球的半径扩大为原来的3倍时，它的表面积扩大为原来的9倍．答案：C3．已知球O的表面积为16π，则球O的体积为(　　)A.πB.πC.πD.π解析：因为球O的表面积是16π，所以球O的半径为2，所以球O的体积为×23＝π，故选D.答案：D4．一个正方体的各顶点均在同一球的球面

3、上，若该球的体积为4π，则该正方体的表面积为________．解析：设球的半径为r，则πr3＝4π，∴r＝.设正方体边长为a，则a＝2，∴a＝2，∴该正方体的表面积为S正方体＝6a2＝24.答案：24授课提示：对应学生用书第28页探究一　球的表面积与体积的计算[典例1]　已知过球面上三点A，B，C的截面到球心的距离等于，且AC＝BC＝，AB＝2，求球面面积与球的体积．[解析]　如图所示，设球心为O，球半径为R，作OO1⊥平面ABC于O1，由于OA＝OB＝OC＝R，则O1是△ABC的外心．由AC＝BC＝，AB＝2，知△ABC是AB为斜边的直角三角形．∴O1是AB的中点，在Rt△AOO1中，

4、OO1＝，O1A＝AB＝1.∴OA＝2，即R＝2.∴S球面＝4πR2＝16π，V球＝πR3＝π.1．球的表面积和体积只与球的半径有关，因此解决该类问题的关键是如何根据已知条件求球的半径．2．在求球的半径时，常用一个平面去截一个球，截面是圆面，球的截面有下面的性质：(1)球心和截面圆心的连线垂直于截面；(2)球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r有下面的关系d＝.1．已知球心O到过球面上三点A，B，C的截面的距离等于球半径的一半，且AB＝BC＝CA＝3cm，求球的体积．解析：如图所示，设过A，B，C三点的截面为圆O′，连接OO′，AO，AO′，因为AB＝BC＝CA＝3cm，所以O′为

5、正三角形ABC的中心，且AO′＝AB＝cm.设球的半径为R，则OO′＝R.由球的截面性质，知△OO′A为直角三角形，所以AO′＝＝＝R，所以R＝2cm.所以V球＝πR3＝π(cm3)．探究二　球的表面积与体积的应用[典例2]　如图是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．相传这个图形表达了阿基米德最引以自豪的发现．我们来重温这个伟大发现．求证：(1)球的表面积等于圆柱的侧面积；(2)球的表面积等于圆柱表面积的；(3)球的体积等于圆柱体积的.[证明]　设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R.S球＝4πR2.S圆柱侧＝2π

6、R×2R＝4πR2.S圆柱＝2×S圆柱底＋S圆柱侧＝2×πR2＋4πR2＝6πR2.∴(1)S球＝S圆柱侧，即球的表面积等于圆柱的侧面积．(2)＝＝，即球的表面积等于圆柱表面积的.(3)＝＝.即球的体积等于圆柱体积的.球的体积和表面积有着非常重要的应用．在具体问题中，要分清是涉及体积问题还是涉及表面积问题，然后再利用等量关系进行计算．2．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．解析：如图作出轴截面，因轴截面是正三角形，根据切线性质知当球在容器内时，水的深度为3r，水面半径为r，则容器内水

7、的体积为V＝V圆锥－V球＝π(r)2·3r－πr3＝πr3.将球取出后，设容器内水的深度为h，则水面圆的半径为h，从而容器内水的体积是V′＝π2h＝πh3.由V＝V′得h＝r.探究三　与球有关的接切问题[典例3]　已知正四棱锥的底面边长为a，侧棱长为a.求它的外接球的体积．[解析]　如图，作PE垂直底面ABCD于E，则E在AC上．设外接球的半径为R，球心为O，连接OA，OC，则OA＝OC＝OP.∴O为△PAC的外心，即△PAC的外接