2020_2021学年高中数学第三章变化率与导数3.1变化的快慢与变化率学案含解析北师大版选修1_1.doc

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1、§1　变化的快慢与变化率授课提示：对应学生用书第30页一、平均变化率定义对一般的函数y＝f(x)来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)．它的平均变化率为实质函数的平均变化率可表示为函数值的改变量(Δy＝f(x2)－f(x1))与自变量的改变量(Δx＝x2－x1)的比值作用刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢二、瞬时变化率定义对于一般的函数y＝f(x)，在自变量x从x0变到x1的过程中，设Δx＝x1－x0，Δy＝f(x1)－f(x0)，则当Δx趋于0时，平均变化率＝＝趋于函数在x0点的瞬时变化率实质

2、平均变化率为当自变量的改变量趋于0时的值作用刻画函数值在x0点处变化的快慢[疑难提示]对平均变化率的正确理解(1)Δx的意义：Δx是相对于x1的一个增量，可以是正数，也可以是负数，可以用x1＋Δx代替x2.(2)＝，式子中Δx，Δy的值都可正可负，但Δx的值不能为0，Δy的值可以为0，当f(x)为常数函数时，Δy＝0.(3)一般地，现实生活中的变化现象和过程可以用函数来描述，所以这些实际问题的变化率的问题可以转化为函数的变化率．(4)为求点x0附近的平均变化率，上述表达形式常写为的形式．[想一想]1．“瞬时变化率”刻画了函数的什么

3、特征？提示：它刻画了函数在一点处变化的快慢．[练一练]2．函数y＝f(x)，自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数的改变量Δy为(　　)A．f(x0＋Δx)　　　　　B．f(x0)＋ΔxC．f(x0)·ΔxD．f(x0＋Δx)－f(x0)解析：根据定义，Δy＝f(x2)－f(x1)＝f(x0＋Δx)－f(x0)．答案：D3．在平均变化率的定义中，自变量x在x0处的增量Δx________0.(填“>”“<”或“≠”)答案：≠授课提示：对应学生用书第31页探究一　求平均变化率[典例1]　已知函数f(x)＝2x2＋1.(1)求函数f(

4、x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率；(2)求函数f(x)在区间[2,2.01]上的平均变化率；(3)求当x0＝1，Δx＝时平均变化率的值．[解析]　(1)由已知得Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝2(x0＋Δx)2＋1－2x－1＝2Δx(2x0＋Δx)，∴＝＝4x0＋2Δx.(2)由(1)可知：＝4x0＋2Δx，当x0＝2，Δx＝0.01时，＝4×2＋2×0.01＝8.02.(3)由(1)可知＝4x0＋2Δx，当x0＝1，Δx＝时，＝4×1＋2×＝5.1．求函数f(x)在[x1，x2]上的平均变化率的方法步骤是：(1)

5、先求Δx＝x2－x1；(2)再求Δy＝f(x2)－f(x1)；(3)由定义求出＝.2．理解平均变化率要注意以下几点：(1)平均变化率表示点(x0，f(x0))与点(x1，f(x1))连线的斜率，是曲线陡峭程度的“数量化”；(2)为求点x0附近的平均变化率，上述表达式常写为的形式；(3)函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势．自变量的改变量Δx取值越小，越能准确体现函数的变化情况．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．求函数y＝f(x)＝－2x2＋5在区间[2,2＋Δx]内的平均变化率．解析：∵Δy

6、＝f(2＋Δx)－f(2)＝－2(2＋Δx)2＋5－(－2×22＋5)＝－8Δx－2(Δx)2，∴＝－8－2Δx.即平均变化率为－8－2Δx.2．已知函数f(x)＝2x2＋3x－5.(1)求当x1＝4，且Δx＝1时，函数增量Δy和平均变化率；(2)求当x1＝4，且Δx＝0.1时，函数增量Δy和平均变化率；(3)若设x2＝x1＋Δx，分析(1)(2)问中的平均变化率的几何意义．解析：(1)Δy＝f(x1＋Δx)－f(x1)＝2(x1＋Δx)2＋3(x1＋Δx)－5－2x－3x1＋5＝4x1Δx＋2(Δx)2＋3Δx.当x1＝4，且Δ

7、x＝1时，Δy＝4×4×1＋2＋3＝21，所以平均变化率＝＝21.(2)当x1＝4，且Δx＝0.1时，Δy＝4×4×0.1＋0.02＋0.3＝1.92，所以平均变化率＝＝19.2.(3)在(1)中，＝＝，它表示曲线上点P0(4,39)与P1(5,60)连线所在直线的斜率；在(2)中，＝＝，它表示曲线上点P0(4,39)与P2(4.1,40.92)连线所在直线的斜率．探究二　求瞬时变化率[典例2]　在赛车中，赛车位移与比赛时间t存在函数关系s＝10t＋5t2(s的单位为m，t的单位为s)．求：(1)t＝20，Δt＝0.1时，Δs与的

8、值；(2)求t＝20时的瞬时速度．[解析]　(1)Δs＝s(20＋Δt)－s(20)＝10×(20＋0.1)＋5×(20＋0.1)2－10×20－5×202＝21.05(m)．＝＝210.5(m/s)．(2)＝＝5Δt＋210.当Δt趋于0时，5Δ