高中数学 第三章 变化率与导数 3.1 变化的快慢与变化率导学案 北师大版选修.doc

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1、3.1变化的快慢与变化率学习目标　1.理解函数的平均变化率和瞬时变化率的概念.2.会求物体运动的平均速度并估计瞬时速度.知识点一　函数的平均变化率观察图形，回答下列问题：思考1　函数f(x)在区间[x1，x2]上平均变化率的大小与曲线在区间上的陡峭程度有何关系？答案　(1)y＝f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率是曲线y＝f(x)在区间[x1，x2]上陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”.(2)平均变化率的绝对值越大，曲线y＝f(x)在区间[x1，x2]上越“陡峭”，反之亦然.思考2　怎样理解自变量的增量、函数值的增量

2、？答案　(1)自变量的增量：用Δx表示，即Δx＝x2－x1，表示自变量相对于x1的“增加量”.(2)函数值的增量：用Δy表示，即Δy＝f(x2)－f(x1)，也表示为f(x1＋Δx)－f(x1)，表示函数值在x1的“增加量”.(3)增量并不一定都是正值，也可以是负值，函数值的增量还可以是0，比如常数函数，其函数值的增量就是0.梳理　平均变化率(1)定义式：＝.(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比.(3)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢.(4)几何意义：已知P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函数y＝f(x

3、)图像上的两点，则平均变化率＝表示割线P1P2的斜率.知识点二　瞬时变化率思考1　物体的平均速度能否精确反映物体的运动状态？答案　不能.如高台跳水运动员从起跳高度到最高点然后回到起跳高度的过程中，平均速度为0，而运动员一直处于运动状态.思考2　如何描述物体在某一时刻的运动状态？答案　可以使用瞬时速度精确描述物体在某一时刻的运动状态.梳理　要求物体在t0时刻的瞬时速度，设运动方程为s＝s(t)，可先求物体在(t0，t0＋Δt)内的平均速度＝，然后Δt趋于0，得到物体在t0时刻的瞬时速度.类型一　函数的平均变化率命题角度1　求函数的平均变化率例1　求

4、函数y＝f(x)＝x2在x＝1，2，3附近的平均变化率，取Δx都为，哪一点附近的平均变化率最大？解　在x＝1附近的平均变化率为k1＝＝＝2＋Δx；在x＝2附近的平均变化率为k2＝＝＝4＋Δx；在x＝3附近的平均变化率为k3＝＝＝6＋Δx.当Δx＝时，k1＝2＋＝，k2＝4＋＝，k3＝6＋＝.由于k1

5、5的图像上的一点A(－1，－6)及邻近一点B(－1＋Δx，－6＋Δy)，则＝.(2)如图所示是函数y＝f(x)的图像，则函数f(x)在区间[－1，1]上的平均变化率为；函数f(x)在区间[0，2]上的平均变化率为.答案　(1)Δx　(2)　解析　(1)＝＝＝Δx.(2)函数f(x)在区间[－1，1]上的平均变化率为＝＝.由函数f(x)的图像知，f(x)＝所以函数f(x)在区间[0，2]上的平均变化率为＝＝.命题角度2　平均变化率的几何意义例2　过曲线y＝f(x)＝x2－x上的两点P(1，0)和Q(1＋Δx，Δy)作曲线的割线，已知割线PQ的斜率为

6、2，求Δx的值.解　割线PQ的斜率即为函数f(x)从1到1＋Δx的平均变化率.∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)2－(1＋Δx)－(12－1)＝Δx＋(Δx)2，∴割线PQ的斜率k＝＝1＋Δx.又∵割线PQ的斜率为2，∴1＋Δx＝2，∴Δx＝1.反思与感悟　函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率的实质是函数y＝f(x)图像上两点P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))连线P1P2的斜率，即＝＝.跟踪训练2　(1)甲，乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图所示，则在[0，t0]这个时间段内，甲，乙两人的平均

7、速度v甲，v乙的关系是(　　)A.v甲>v乙B.v甲

8、变化率例3　以初速度v0(v0>0)竖直上抛的物体，t秒时的高度s与t的函数关系为s＝v0t－gt2，求物体在时刻t0处的瞬时速度.解