2020_2021学年高中数学第二章推理与证明2.2.2反证法学案含解析新人教A版选修2_2.doc

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1、2.2.2　反证法内　容　标　准学　科　素　养1.了解反证法是间接证明的一种基本方法；2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题.加强数学运算严格逻辑推理提高直观想象授课提示：对应学生用书第41页[基础认识]知识点　反证法王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动，等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．”本故事中王戎运用了什么

2、论证思想？提示：运用了反证法思想．　知识梳理　(1)定义：假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．(2)反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等．思考：1.反证法的思维过程是怎样的？提示：否定结论⇒推演过程中引出矛盾⇒否定假设肯定结论，即否定——推理——否定(经过正确的推理导致逻辑矛盾，从而达到新的否定，即肯定原命题)．反证法的证明过程可以用以下框图表示：→→2

3、．反证法的证明步骤是怎样的？提示：用反证法证明命题时，要从否定结论开始，经过正确的推理导致逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)．这个过程包括下面三个步骤：(1)反设——假设命题的结论不成立，即假设原结论的反面为真；(2)归谬——由“反设”作为条件，经过一系列正确的推理，得出矛盾；(3)存真——由矛盾结果断定反设错误，从而肯定原结论成立．即反证法的证明过程可以概括为：反设——归谬——存真．[自我检测]1．证明“在△ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设(　　)A．三角形中至少有一个直角或钝角B．三角形中至少有两个直角

4、或钝角C．三角形中没有直角或钝角D．三角形中三个角都是直角或钝角解析：“至多有一个”的否定是“至少有两个”．答案：B2．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么直线c与b的位置关系为(　　)A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线解析：假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b是异面直线矛盾，故c与b不可能是平行直线．答案：C3．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，这与三角形内角和为180°相

5、矛盾，∠A＝∠B＝90°不成立．②所以一个三角形中不能有两个直角．③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.正确顺序的排列为________．解析：反证法的步骤是：先假设命题不成立，然后通过推理得出矛盾，最后否定假设，得到命题是正确的．答案：③①②授课提示：对应学生用书第42页探究一　用反证法证明否定性命题[例1]　已知a，b，c，d∈R，且ad－bc＝1，求证：a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.[证明]　假设a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＝1.因为ad－bc＝1，所以a2＋b2＋c2＋d2＋

6、ab＋cd＋bc－ad＝0，即(a＋b)2＋(c＋d)2＋(a－d)2＋(b＋c)2＝0，所以a＋b＝0，c＋d＝0，a－d＝0，b＋c＝0，则a＝b＝c＝d＝0，这与已知条件ad－bc＝1矛盾．故假设不成立，所以a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.方法技巧　(1)用反证法证明否定性命题的适用类型：结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法．(2)用反证法证明数学命题的步骤跟踪探究　1.已知三个正数a，b，c成等比数列但不成等差数列，求证：

7、，，不成等差数列．证明：假设，，成等差数列，则2＝＋，∴4b＝a＋c＋2.①∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac，②由②得b＝，代入①式，得a＋c－2＝(－)2＝0，∴a＝c，从而a＝b＝c，这与已知a，b，c不成等差数列相矛盾，∴假设不成立．故，，不成等差数列．探究二　用反证法证明“至多、至少”问题[例2]　已知a，b，c∈(0,2)，求证：(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a不能都大于1.[证明]　假设(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a都大于1.因为a，b，c∈(0,2)，所以2－a＞0,2－b＞0,2－c＞0.

8、所以≥＞1.同理≥＞1，≥＞1.三式相加，得＋＋＞3，即3＞3，矛盾．所以(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a不能都大于1.延伸探究　已知a，b，c∈(0,1)，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于.证明：假设(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a都