2020_2021学年高中数学第二章推理与证明2.2.2反证法训练含解析新人教A版选修1_2.doc

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1、考试2.2.2反证法[A组　学业达标]1．实数a，b，c不全为0等价于(　　)A．a，b，c均不为0B．a，b，c中至多有一个为0C．a，b，c中至少有一个为0D．a，b，c中至少有一个不为0解析：“不全为0”的对立面为“全为0”，故“不全为0”的含义为“至少有一个不为0”．答案：D2．如果两个实数之和为正数，则这两个数(　　)A．一个是正数，一个是负数B．两个都是正数C．至少有一个正数D．两个都是负数解析：假设两个数分别为x1，x2，且x1≤0，x2≤0，则x1＋x2≤0，这与两个数之和为正数矛盾，所以两个实数至少有一个正数，故应选C.答案：C3．用反证法证明命题“a，b∈N，如果ab可被

2、5整除，那么a，b至少有1个能被5整除”，则假设的内容是(　　)A．a，b都能被5整除B．a，b都不能被5整除C．a不能被5整除D．a，b有1个不能被5整除解析：用反证法只否定结论即可，而“至少有1个”的反面是“1个也没有”，故B正确．-6-/6考试答案：B4．设a，b，c大于0，则3个数a＋，b＋，c＋的值(　　)A．都大于2　　　　B．至少有一个不大于2C．都小于2D．至少有一个不小于2解析：假设a＋，b＋，c＋都小于2，则a＋<2，b＋<2，c＋<2，∴a＋＋b＋＋c＋<6.①又a，b，c大于0，所以a＋≥2，b＋≥2，c＋≥2.∴a＋＋b＋＋c＋≥6.②故①与②式矛盾，假设不成立，所

3、以a＋，b＋，c＋至少有一个不小于2.答案：D5．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形的内角和为180°矛盾，故假设错误；②所以一个三角形不能有两个直角；③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.上述步骤的正确顺序为________．解析：反证法的步骤为：反设→归谬→存真，∴正确顺序为③①②.答案：③①②-6-/6考试6．下列命题适合用反证法证明的是________(填序号)．①已知函数f(x)＝ax＋(a＞1)，证明：方程f(x)＝0没有负实数根；②关于x的方程ax＝b(a≠0)的解是唯一的；

4、③同一平面内，分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交．解析：①是“否定”型命题；②是“唯一”型命题，且题中条件较少；③中条件较少不足以直接证明，因此四个命题都适合用反证法证明．答案：①②③7．设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b＝1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2.其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是________(填序号)．解析：显然①②不能推出，③中a＋b>2能推出“a，b中至少有一个大于1”否则a≤1，且b≤1，则a＋b≤2与a＋b>2矛盾．④中取a＝－2，b＝0，推不出．答案：③8．设a，b是异面直线，在a上任取两点A1，A2，在b上任取两点B1，B2

5、，试证：A1B1与A2B2也是异面直线．证明：假设A1B1与A2B2不是异面直线，则A1B1与A2B2可以确定一个平面α，点A1，A2，B1，B2都在平面α内，于是A1A2⊂α，B1B2⊂α，即a⊂α，b⊂α，这与已知a，b是异面直线矛盾，所以假设错误．所以A1B1与A2B2也是异面直线．9．已知a，b，c∈(0,1)．求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于.证明：假设(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a都大于.因为00.由基本不等式≥>，同理>，>，-6-/6考试以上三个不等式相加，＋＋>，即>.这是不可能的．故(1－a)b，(1－b

6、)c，(1－c)a不能都大于.[B组　能力提升]1．用反证法证明数学命题时，首先应该做出与命题结论相反的假设．否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的假设为(　　)A．自然数a，b，c都是奇数B．自然数a，b，c都是偶数C．自然数a，b，c中至少有两个偶数D．自然数a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数解析：反证法证明时应假设所要证明的结论的反面成立，本题需反设为自然数a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数．答案：D2．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，假设正确的是(　　)A．假设三内角都不大于60°B．假设三内角都大于60°C．假设三内角至少有一个大于60°D．

7、假设三内角至多有两个大于60°解析：“至少有一个”即“全部中最少有一个”．答案：B3．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是________．-6-/6考试解析：若甲是获奖的歌手，则都说假话，不合题意．若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说真话，丙说