2020_2021学年高中数学第一章计数原理1.3.1二项式定理学案含解析新人教A版选修2_3.doc

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1、1．3　二项式定理1．3.1　二项式定理内　容　标　准学　科　素　养1.能用计数原理证明二项式定理．2.理解二项式定理及二项展开式的特征，掌握二项式定理和二项展开式的通项公式．3.正确运用二项展开式展开或化简某些二项式，运用通项求某些特定项、二项式系数或项的系数．4.能解决与二项式定理有关的简单问题.利用数学抽象提升数学运算授课提示：对应学生用书第16页[基础认识]知识点　二项式定理及其相关概念　知识梳理　二项式定理公式(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn，称为二项式定理二项式系数C(k＝0,1，…，

2、n)通项Tk＋1＝Can－kbk二项式定理的特例(1＋x)n＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxk＋…＋Cxn[自我检测]1．(2x＋1)4的展开式为________________．答案：16x4＋32x3＋24x2＋8x＋12．(x＋2)8的展开式中的第6项为________，其二项式系数为________．答案：1792x3　56授课提示：对应学生用书第17页探究一　二项式定理的正用、逆用[阅读教材P30例1]求6的展开式．题型：二项式定理的应用方法步骤：(1)先将二项式整理为(2x－1)6.(2)再用二项式定理将(2x－1)展开并

3、化简即得到展开式．[例1]　(1)求4的展开式．(2)化简：C(x＋1)n－C(x＋1)n－1＋C(x＋1)n－2－…＋(－1)kC(x＋1)n－k＋…＋(－1)nC.[解析]　(1)法一：4＝(3)4＋C(3)3·＋C(3)22＋C(3)3＋C4＝81x2＋108x＋54＋＋.法二：4＝＝＝＝81x2＋108x＋54＋＋.(2)原式＝C(x＋1)n＋C(x＋1)n－1(－1)＋C(x＋1)n－2(－1)2＋…＋C(x＋1)n－k(－1)k＋…＋C(－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn.方法技巧　1.(a＋b)n的二项展开式

4、有n＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：(1)各项的次数和等于n；(2)字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n.2．逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想，注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢．跟踪探究　1.化简：(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1.解析：原式＝C(2x＋1)5－C(2x＋1)4＋C(2x＋1)3－C(2x＋1)2＋C(2x＋1)－C(2x＋1)0＝[(2x＋1)－1

5、]5＝(2x)5＝32x5.探究二　二项展开式通项的应用[阅读教材P31例2](1)求(1＋2x)7的展开式的第4项的系数；(2)求9的展开式中x3的系数．题型：二项展开式通项公式的应用方法步骤：对于(1)直接用通项公式写出T4从而得出该项系数．对于(2)，写出Tr＋1并整理由x3项得到r的值，从而求出该项系数．[例2]　若n展开式中前三项系数成等差数列，求：(1)展开式中含x的一次项；(2)展开式中所有的有理项．[解析]　(1)由已知可得C＋C·＝2C·，即n2－9n＋8＝0，解得n＝8或n＝1(舍去)．Tk＋1＝C()8－k·

6、k＝C·2－k·x4－k，令4－k＝1，得k＝4.所以x的一次项为T5＝C2－4x＝x.(2)令4－k∈Z，且0≤k≤8，则k＝0,4,8，所以含x的有理项分别为T1＝x4，T5＝x，T9＝.方法技巧　1.利用二项式的通项求二项展开式的特定项的常见题型(1)求第k项，Tk＝Can－k＋1bk－1；(2)求含xk的项(或xpyq的项)；(3)求常数项；(4)求有理项．2．求二项展开式的特定项的常用方法(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解

7、这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．跟踪探究　2.在8的展开式中，求：(1)第5项的二项式系数及第5项的系数；(2)x2的系数．解析：(1)T5＝T4＋1＝C(2x2)8－44＝C·24·x，所以第5项的二项式系数是C＝70，第5项的系数是C·24＝1120.(2)8的通项是C(2x2)8－rr＝(－1)rC·28－r·x16－r.由题意，得16－r＝2，解得r＝6，因此，x2的

8、系数是(－1)6C·28－6＝112.探究三　利用二项式定理解决整除和余数问题[阅读教材P37习题1.3B组1(2)]用二项式定理证明：9910－1能被1000整除．证明：9910－1＝(100－1)10－1＝C10010－C1009＋C1008－