高中数学第一章计数原理1.3.1二项式定理学案新人教a版选修2

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1、1．3.1　二项式定理[学习目标]1．能用计数原理证明二项式定理．2．掌握二项式定理及其展开式的通项公式．3．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．[知识链接]1．二项式定理中，项的系数与二项式系数有什么区别？答　二项式系数与项的系数完全是不同的两个概念．二项式系数是指C，C，…，C，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关，而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关．2．二项式(a＋b)n与(b＋a)n展开式中第r＋1项是否相同？答　不同．(a＋b)n展开式中第r＋1项为Can－rbr，而(b＋

2、a)n展开式中第r＋1项为Cbn－rar.[预习导引]1．二项式定理公式(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)叫做二项式定理．2．二项式系数及通项(1)(a＋b)n展开式共有n＋1项，其中各项的系数C(k∈{0，1，2，…，n})叫做二项式系数．(2)(a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝Can－kbk.要点一　二项式定理的正用、逆用例1　(1)求(3＋)4的展开式；(2)化简(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)．解　(1)法一　(3＋)4

3、＝C(3)4＋C(3)3·＋C(3)2·()2＋C(3)·()3＋C·()4＝81x2＋108x＋54＋＋.法二　(3＋)4＝＝[1＋C·3x＋C(3x)2＋C(3x)3＋C(3x)4]＝(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1)＝81x2＋108x＋54＋＋.(2)原式＝C(x－1)5＋C(x－1)4＋C(x－1)3＋C(x－1)2＋C(x－1)＋C－1＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1.规律方法　运用二项式定理展开二项式，要记准展开式的通项公式，对于较复杂的二项式，有时先化简再展开更简捷；要搞清楚二项展开式中的项以及该项的系数与二项式系数

4、的区别．逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数．跟踪演练1　(1)展开(2＋)6；(2)化简：1＋2C＋4C＋…＋2nC.解　(1)(2＋)6＝(2x＋1)6＝[C(2x)6＋C(2x)5＋C(2x)4＋C(2x)3＋C(2x)2＋C(2x)＋C]＝64x3＋192x2＋240x＋160＋＋＋.(2)原式＝1＋2C＋22C＋…＋2nC＝(1＋2)n＝3n.要点二　二项展开式通项的应用例2　若(＋)n展开式中前三项系数成等差数列，求：(1)展开式中含x的一次项；(2)展开式中的所有有理

5、项．解　(1)由已知可得C＋C·＝2C·，即n2－9n＋8＝0，解得n＝8，或n＝1(舍去)．Tk＋1＝C()8－k·()k＝C·2－k·x4－k，令4－k＝1，得k＝4.所以x的一次项为T5＝C2－4x＝x.(2)令4－k∈Z，且0≤k≤8，则k＝0，4，8，所以含x的有理项分别为T1＝x4，T5＝x，T9＝.规律方法　利用二项式的通项公式求二项展开式中具有某种特征的项是关于二项式定理的一类典型题型．常见的有求二项展开式中的第r项、常数项、含某字母的r次方的项等等．其通常解法就是根据通项公式确定Tk＋1中k的值或取值范围以满足题设的条件．跟踪演练

6、2　已知二项式(x2＋)10.(1)求展开式中的第5项；(2)求展开式中的常数项．解　(1)(x2＋)10的展开式的第5项为T5＝C·(x2)6·()4＝C·()4·x12·()4＝x10.(2)设第k＋1项为常数项，则Tk＋1＝C·(x2)10－k·()k＝C·x20－k·()k(k＝0，1，2，…，10)，令20－k＝0，得k＝8，所以T9＝C·()8＝，即第9项为常数项，其值为.要点三　二项式定理的应用例3　(1)用二项式定理证明：34n＋2＋52n＋1能被14整除；(2)求9192除以100的余数．(1)证明　34n＋2＋52n＋1＝92n

7、＋1＋52n＋1＝[(9＋5)－5]2n＋1＋52n＋1＝(14－5)2n＋1＋52n＋1＝142n＋1－C×142n×5＋C×142n－1×52－…＋C×14×52n－C×52n＋1＋52n＋1＝14(142n－C×142n－1×5＋C×142n－2×52－…＋C×52n)．上式是14的倍数，能被14整除，所以34n＋2＋52n＋1能被14整除．(2)解　法一　9192＝(100－9)92＝10092－C×10091×9＋C×10090×92－…－C×100×991＋992，前面各项均能被100整除，只有末项992不能被100整除，于是求992除

8、以100的余数．∵992＝(10－1)92＝1092－C×1091＋C×1090－…＋C×102－C×10＋(－1)92＝