高中数学 第一章 计数原理 1.3.1 二项式定理练习(含解析)新人教a版选修2-3

高中数学 第一章 计数原理 1.3.1 二项式定理练习(含解析)新人教a版选修2-3

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1、1.3.1二项式定理一、选择题1.在(x-)10的展开式中,x6的系数是(  )A.-27CB.27CC.-9CD.9C【答案】 D【解析】 ∵Tr+1=Cx10-r(-)r.令10-r=6,解得r=4.∴系数为(-)4C=9C.2.在n(n∈N*)的展开式中,若存在常数项,则n的最小值是(  )A.3B.5C.8D.10【答案】 B【解析】 Tr+1=C(2x3)n-rr=2n-r·Cx3n-5r.令3n-5r=0,∵0≤r≤n,r、n∈Z.∴n的最小值为5.3.在n的展开式中,常数项为15,则n的一个值可以是(  )A

2、.3B.4C.5D.6【答案】 D【解析】 通项Tr+1=C(x2)n-r(-)r=(-1)rCx2n-3r,常数项是15,则2n=3r,且C=15,验证n=6时,r=4合题意,故选D.4.(x+)5(x∈R)展开式中x3的系数为10,则实数a等于(  )A.-1B.C.1D.2【答案】 D【解析】 C·xr()5-r=C·a5-rx2r-5,令2r-5=3,∴r=4,由C·a=10,得a=2.5.若(1+2x)6的展开式中的第2项大于它的相邻两项,则x的取值范围是(  )A.<x<B.<x<C.<x<D.<x<【答案】 

3、A【解析】 由得∴<x<.6.在20的展开式中,系数是有理数的项共有(  )A.4项B.5项C.6项D.7项【答案】 A【解析】 Tr+1=C(x)20-rr=r·()20-rC·x20-r,∵系数为有理数,∴()r与2均为有理数,∴r能被2整除,且20-r能被3整除,故r为偶数,20-r是3的倍数,0≤r≤20.∴r=2,8,14,20.二、填空题7.若6的二项展开式中x3的系数为,则a=________(用数字作答).【答案】 2【解析】 C(x2)3·3=x3=x3,∴a=2.8.(1+x+x2)(x-)6的展开式中

4、的常数项为________.【答案】 -5【解析】 (1+x+x2)6=6+x6+x26,∴要找出6中的常数项,项的系数,项的系数,Tr+1=Cx6-r(-1)rx-r=C(-1)rx6-2r,令6-2r=0,∴r=3,令6-2r=-1,无解.令6-2r=-2,∴r=4.∴常数项为-C+C=-5.三、解答题9.m、n∈N*,f(x)=(1+x)m+(1+x)n展开式中x的系数为19,求x2的系数的最小值及此时展开式中x7的系数.【解析】 由题设m+n=19,∵m,n∈N*.∴,,…,.x2的系数C+C=(m2-m)+(n2

5、-n)=m2-19m+171.∴当m=9或10时,x2的系数取最小值81,此时x7的系数为C+C=156.10.若n展开式中前三项系数成等差数列.求:展开式中系数最大的项.【解析】 通项为:Tr+1=C·()n-r·r.由已知条件知:C+C·=2C·,解得:n=8.记第r项的系数为tr,设第k项系数最大,则有:tk≥tk+1且tk≥tk-1.又tr=C·2-r+1,于是有:即∴解得3≤k≤4.∴系数最大项为第3项T3=7·x和第4项T4=7·x.

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