高中数学 第一章 计数原理 1.3.1 二项式定理练习（含解析）新人教a版选修2-3

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1、1.3.1二项式定理一、选择题1．在(x－)10的展开式中，x6的系数是(　　)A．－27CB．27CC．－9CD．9C【答案】　D【解析】　∵Tr＋1＝Cx10－r(－)r.令10－r＝6，解得r＝4.∴系数为(－)4C＝9C.2．在n(n∈N*)的展开式中，若存在常数项，则n的最小值是(　　)A．3B．5C．8D．10【答案】　B【解析】　Tr＋1＝C(2x3)n－rr＝2n－r·Cx3n－5r.令3n－5r＝0，∵0≤r≤n，r、n∈Z.∴n的最小值为5.3．在n的展开式中，常数项为15，则n的一个值可以是(　　)A

2、．3B．4C．5D．6【答案】　D【解析】　通项Tr＋1＝C(x2)n－r(－)r＝(－1)rCx2n－3r，常数项是15，则2n＝3r，且C＝15，验证n＝6时，r＝4合题意，故选D.4．(x＋)5(x∈R)展开式中x3的系数为10，则实数a等于(　　)A．－1B.C．1D．2【答案】　D【解析】　C·xr()5－r＝C·a5－rx2r－5，令2r－5＝3，∴r＝4，由C·a＝10，得a＝2.5．若(1＋2x)6的展开式中的第2项大于它的相邻两项，则x的取值范围是(　　)A.＜x＜B.＜x＜C.＜x＜D.＜x＜【答案】　

3、A【解析】　由得∴＜x＜.6．在20的展开式中，系数是有理数的项共有(　　)A．4项B．5项C．6项D．7项【答案】　A【解析】　Tr＋1＝C(x)20－rr＝r·()20－rC·x20－r，∵系数为有理数，∴()r与2均为有理数，∴r能被2整除，且20－r能被3整除，故r为偶数，20－r是3的倍数，0≤r≤20.∴r＝2,8,14,20.二、填空题7．若6的二项展开式中x3的系数为，则a＝________(用数字作答)．【答案】　2【解析】　C(x2)3·3＝x3＝x3，∴a＝2.8．(1＋x＋x2)(x－)6的展开式中

4、的常数项为________．【答案】　－5【解析】　(1＋x＋x2)6＝6＋x6＋x26，∴要找出6中的常数项，项的系数，项的系数，Tr＋1＝Cx6－r(－1)rx－r＝C(－1)rx6－2r，令6－2r＝0，∴r＝3，令6－2r＝－1，无解．令6－2r＝－2，∴r＝4.∴常数项为－C＋C＝－5.三、解答题9．m、n∈N*，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n展开式中x的系数为19，求x2的系数的最小值及此时展开式中x7的系数．【解析】　由题设m＋n＝19，∵m，n∈N*.∴，，…，.x2的系数C＋C＝(m2－m)＋(n2

5、－n)＝m2－19m＋171.∴当m＝9或10时，x2的系数取最小值81，此时x7的系数为C＋C＝156.10．若n展开式中前三项系数成等差数列．求：展开式中系数最大的项．【解析】　通项为：Tr＋1＝C·()n－r·r.由已知条件知：C＋C·＝2C·，解得：n＝8.记第r项的系数为tr，设第k项系数最大，则有：tk≥tk＋1且tk≥tk－1.又tr＝C·2－r＋1，于是有：即∴解得3≤k≤4.∴系数最大项为第3项T3＝7·x和第4项T4＝7·x.