高中基本函数备课.docx

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1、基本初等函数一、函数及其表示1、函数的定义：设、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则，对于集合中任何一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应，就称为集合到的一个函数，记作y=。其中x的取值集合A叫做函数的定义域；与x的值相对应的值叫做函数值。函数值的集合B｛x∈R｝叫做函数的值域。如我们所熟悉的一次函数y=ax+b（a≠0）2、构成函数的三要素（1）函数的三要素：定义域、对应法则、值域。（2）只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．（3）三要素中只要有一个不同的两个函数就

2、是不同的函数。3、区间的概念表示方法（1）设是两个实数，且，满足的实数的集合叫做闭区间，记做；满足的实数的集合叫做开区间，记做；满足，或的实数的集合叫做半开半闭区间，分别记做，；满足的实数的集合分别记做．注意：对于集合与区间，前者可以大于或等于，而后者必须．（2）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①是整式时，定义域是全体实数．②是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不

3、等于1．⑤中，．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知的定义域为，其复合函数的定义域应由不等式解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．例题1、求一次函数=＋(≠0)的定义域，值域。2、求反比例函数=(≠0)的定义域，值域。3、求二次函数=2＋＋(≠0)的

4、定义域，值域。4、若=2＋3＋1，求。4、函数的表示方法函数的表示方法有：解析式、列表法、图像法。一、映射的概念1、映射的定义：设是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系,使对于集合中的任意一个元素,在集合中都有唯一确定的元素与之对应,那么就称对应为从集合到集合的一个映射.记作．2、象与原象：如果给定一个从集合A到集合B的映射，那么和A中元素a对应的B中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象。【说明】映射是一种特殊的对应，它具有(1)方向性:映射是有次序的,一般地从A到B的映射与从B到A的映射是不同的;(

5、2)任意性:集合A中的任意一个元素都有像,但不要求B中的每一个元素都有原像;(3)唯一性:集合A中元素的像是唯一的,即不允许“一对多”,但可以“多对一”.原象的集合是定义域，而象的集合是值域。二、分段函数与复合函数1、分段函数：若函数在定义域的不同子集上的对应法则不同，可用几个式子表示函数，这种形式的函数就叫分段函数。2、复合函数：若y是u的函数，u又是x的函数，即y=f（u），u=g（x），x∈（a，b），u∈（m，n），那么y关于x的函数y=f〔g（x）〕，x∈（a，b）叫做f和g的复合函数，u叫做中

6、间变量，u的取值范围是g（x）的值域。函数的基本性质一、函数的单调性1、函数的单调性一般的，设函数f（x）定义域为I：（1）如果对于定义域内I内某个区间D上任意两个自变量的值x1与x2，当x1f（x2），则称f(x)在这个区间上是减函数.（如下图）2、单调性与单调区间如果函数y＝f（x），在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数在这个区间上具有（严格）单调性，区间D叫做y＝f（x）

7、的单调区间．在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的．例2：物理学中的玻意耳定律（k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大．试用函数的单调性证明之．证明：根据单调性的定义，设V1,V2是定义域（0，+∞）上的任意两个实数，且V10；由V10又k>0，于是即所以，函数是减函数．也就是说，当体积V减小时，压强p将增大．3、证明函数单调性的一般步骤：⑴取值：设x1，x2是给定区间内的两个任意值，且x

8、1x2）；⑵作差：作差f(x1)－f(x2)，并将此差式变形（要注意变形到能判断整个差式符号为止）；⑶定号：判断f(x1)－f(x2)的正负（要注意说理的充分性）,必要时要讨论；⑷下结论：根据定义得出其单调性.4判断函数单调性的常用方法（1）定义法（2）两个增（减）函数的和仍为增函数；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差为是增（减）函数。（3）奇函数在对称的两个区间上有相同的的单调性；偶函数在对称的两个区间上