高三数学复习专题四数列与不等式.doc

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1、高三数学专题四（数列与不等式）第一讲递推公式与通项公式数列是高中数学很重要的内容之一，是高考的热点和重点。数列中蕴含着丰富的数学思想，而递推公式的通项问题具有很强的逻辑性，是考查逻辑推理和转化化归能力的好素材，因此也成为近几年高考的热点。类型1（已归纳常见题型）（1）；（2）；（3）；（4）；（5）;（6）；（7）类型2：这种类型一般是等式两取倒数后转化为类型（3）例1．已知数列{}满足，且，求数列{}的通项公式.【解析】由已知，得，即.设，则，∴，∴{}是首项为，公比为的等比数列，　　∴.　解得.类型3：周期型这种类型与函数的周期性相类似，应推导对任意有，则为数列的周期.例2．已知数

2、列{}满足，，则＝（　　）A．0B．C．D．【解析】选B.　∵，，，，……至此可知：数列{}的各项的值依次为0，，，0，，，0，……周而复始.∵余2　　　∴类型4：这种类型一般通过构造方程，利用“不动点”知识处理.例3．已知数列{}满足，，求数列{}的通项公式.【解析】设方程，则或∴，两式相除，得：令，则，∴∴类型5：或这种类型一般可转化为{}与{}是等差或等比数列求解.例4．（1）在数列{}中，，，求;（2）在数列{}中，，，求.【解析】（1）∵，∴，两式相减，得.∴{}与{}均为公差为6的等差数列，易求得（2）类似（1）的方法易求.类型6：归纳猜想法例5．设数列{}的前n项和为，且

3、方程有一根为，.（1）求，；（2）求{}的通项公式.【解析】（1）当时，有一根为，于是.解得.当时，有一根为，于是，解得.（2）由题设，即.当时，，代入上式得：（*）由（1）知..由（*）可得.由此猜想，.下面用数学归纳法证明这个结论.①时已知结论成立.②假设时结论成立，即.当时，则（*）得.即.故时结论也成立.综上，由①、②可知对所有正整数n都成立.于是当时，.又当时，，所以{}的通项.练习：1．已知数列{}中，，，则使成立的n是（　D　）A．21或22B．22或23C．22D．212．若数列{}中，，且对任意的正整数m、n者有，则等于（　C　）A．B．C．D．31124864202

4、83681216203579111234563．给定正整数n（）按下图方式构成三角形数表：第一行依次写上数1，2，3，……，n，在下面一行的每相邻两个数的正中间上方写上这两个数之和，得到上面一行的数（比下一行少1个数），依次类推，最后一行（第n行）只有一个数，例如n＝6时数表如图所示，则当n＝2009时最后一行的数是（　C　）A．251×22009B．251×22008C．2010×22007D．2009×220074．数列{}满足若，则的值是　　　　　　.5．设数列{}的前n项和.求数列{}的通项公式.（）6．已知是定义在上的增函数，对任意的有且f；定义数列{}满足：，，若{}为等比

5、数列.（1）求的所有值及{}的通项公式；（2）当为奇数时，求证：；（3）求证：.（）第二讲数列的通项与前n项和（教师用）例1．设正项等比数列{}的首项，前n项和为，且.（1）求{}的通项；（2）求{}的前n项和Ten.【解析】（1）由，得，即，得，因为，所以，解得，因而.（2）因为{}是首项，公比的等比数列，故，.则数列{}的前n项和①②①－②得：，.即例2．已知数列{}满足：，，，.（1）求，，，的值及数列{}的通项公式；（2）设，求数列{}的前n项和.【思路点拔】（1）先令，再讨论n的奇偶.（2）用错位相减法.【解析】（1），，，，当n为奇数时，，∴，∴，，，，…是公差为2的等差数

6、列，∴.当n为偶数时，，∴，∴，，，，…是公比为2的等比数列，∴.∴数列{}的通项公式为.（2），∴，，两式相减，得：=，∴.例3．数列{}满足且，记.（1）求、、、的值；（2）求数列{}的通项公式及数列{}的前n项和Sn【解析】方法一：（1）由，得：，代入递推关系式，整理得，即，由，得，所以，，.　（2）由，，，所以{}是首项为，公比的等比数列，故，即.　　　　由，得，故.方法二：∵设方程：，则或∴，，两式相除得令：，则：，∴.∴∴∴，，，，∴例4．已知各项均为正数的数列{}满足：，且，.(1)求数列{}的通项公式；(2)设，，求，并确定最小正整数，使为整数.【解析】(1)条件化为，

7、因此{}为一个等比数列，其公比为2，首项为.所以.因由，由①解出(2)由(1)有，为使为整数，当且仅当为整数.当1，2时，显然不为整数，当时，∵.∴只需为整数，∵与3互质，∴n为9的整数倍.当n=9时,为整数,故n的最小正整数为9.练习：1．数列{}是公差不为零的等差数列，并且，，是等比数列的相邻三项，若，则等于(D)A．B．C．D．2．数列的前n项和(q＞0且q是常数)，某同学研究此数列后，得出如下三个结论：①的通项公式是；②是等比数列；③当