《数列与不等式》专题复习(高三理科)辅导学案.doc

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1、《数列与不等式》专题复习（高三理科）辅导学案在数列与不等式的证明中，常用的方法有：放缩法、不等式法、数学归纳法、函数求导法、构造转化法（如：形如与的大小比较，与的大小的比较；可转化为利用二项展开）。1.正数数列的前项的和，满足，试求：（1）数列的通项公式；（2）设，数列的前项的和为，求证：2.设数列的前项的和,，（Ⅰ）求首项与通项；（Ⅱ）设，，证明：.3.等比数列中，，前n项的和为，且成等差数列．设，数列前项的和为，证明：．4.已知数列满足（I）求数列的通项公式；（II）若数列滿足，证明：数列是等差数列；（Ⅲ）证明：.5.已知数列满足：，．求证：6.已知各项均为

2、正数的数列的前项和为,且.(1)求证：；(2)求证：7,已知数列的前n项和满足：（a为常数，且）．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设，若数列为等比数列，求a的值；（Ⅲ）在满足条件（Ⅱ）的情形下，设，数列的前n项和为Tn.求证：．8.已知数列满足且对一切,有（1）求证：对一切（2）求数列通项公式.（3）求证：9.设数列满足且（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设10.已知函数,数列满足,;数列满足,.求证:（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）若则当n≥2时,.11.已知为锐角，且，函数，数列{an}的首项.⑴求函数的表达式；⑵求证：；⑶求证：12.已知数列满足（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列满

3、足，证明：是等差数列；（Ⅲ）证明：13.设（e为自然对数的底数）（I）求p与q的关系；（II）若在其定义域内为单调函数，求p的取值范围；（III）证明：①；②（n∈N，n≥2）.14.已知函数，数列满足．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求；（Ⅲ）求证：15.已知函数．（1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围；（2）当时，试比较与1的大小；（3）求证：．参考答案1.解：（1）由已知得，时，，作差得：，所以，又因为为正数数列，所以，即是公差为2的等差数列，由，得，所以（2），所以2.解:(Ⅰ)由Sn=an－×2n+1+,n=1,2,3，…,①得a1=S1=a

4、1－×4+所以a1=2再由①有Sn－1=an－1－×2n+,n=2,3，4,…将①和②相减得:an=Sn－Sn－1=(an－an－1)－×(2n+1－2n),n=2,3,…整理得:an+2n=4(an－1+2n－1),n=2,3,…,因而数列{an+2n}是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,即:an+2n=4×4n－1=4n,n=1,2,3,…,因而an=4n－2n,n=1,2,3,…,(Ⅱ)将an=4n－2n代入①得Sn=×(4n－2n)－×2n+1+=×(2n+1－1)(2n+1－2)=×(2n+1－1)(2n－1)Tn==×=×(－)所以,=－)=×

5、(－)<3.解：∵，，，∴公比．∴．．（利用等比数列前n项和的模拟公式猜想）∴．4.（I）解：是以为首项，2为公比的等比数列即　（II）证法一：　　　　　　　　　　　　　①　　　　　　②②－①，得即　③－④，得　即　是等差数列（III）证明：5.证明：因为，所以与同号，又因为，所以，即，即．所以数列为递增数列，所以，即，累加得：．令，所以，两式相减得：，所以，所以，故得．6.解：（1）在条件中，令，得，，又由条件有，上述两式相减，注意到得∴所以，，所以（2）因为，所以，所以；7.解：（Ⅰ）∴当时，，即是等比数列．∴；…………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，若为等比数列，

6、则有而[来源:学。科。网]故，解得，再将代入得成立，所以．………………8分（III）证明：由（Ⅱ）知，所以[来源:学§科§网Z§X§X§K]，由得所以，从而．即．……………………13分8.证:(1)①,②②-①：,,.()(2)由及,两式相减,得:∴.(3)∵,∴.∴9.【解析】：（Ⅰ）由得，前项为，（Ⅱ）10.(Ⅰ)先用数学归纳法证明,.（1）当n=1时,由已知得结论成立;（2）假设当n=k时,结论成立,即.则当n=k+1时,因为0

7、论也成立.即对于一切正整数都成立.————4分又由,得,从而.综上可知————6分(Ⅱ)构造函数g(x)=-f(x)=,0g(0)=0.因为,所以,即>0,从而————10分(Ⅲ)因为,所以,,所以————①,————12分由(Ⅱ)知:,所以=,因为,n≥2,所以<<=————②.————14分由①②两式可知:.————16分11.解：⑴又∵为锐角∴∴⑵∵∴都大于0∴∴⑶∴∴∵,,又∵∴∴∴12.解：（1），……………………2分故数列是首项为2，公比为2的等比数列。……………………3

8、分，…………………………