数列与不等式专题.doc

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1、数列与不等式专题一(数列与函数综合)已知函数的图象经过点，且对任意，都有数列满足（1）当为正整数时，求的表达式；（2）设，求；（3）若对任意，总有，求实数的取值范围.【解析】（1）记，由有对任意都成立，又，所以数列为首项为公差为2的等差数列，故，即…（2）由题设若为偶数，则…若为奇数且，则，…又，即…（3）当为奇数且时，；当为偶数时，，因为，所以，…，∵单增∴即…故的取值范围为…二(数列与不等式综合)51(先求和再放缩)等差数列中，，前项和为，等比数列各项均为正数，，且，的公比（1）求与；（2）证明：1．解：（I）

2、由已知解得，或（舍去），（2）证明：故2先放缩再求和再放缩(放为等比)在数列中，。（1）记，求证：数列是等比数列，并写出数列的通项公式；（2）在（1）的条件下，记，数列的前项和为。求证：＜。2解：（1），即是等比数列(2）由（1）可知：＜＜＜故＜.3先放缩再求和再放缩(放为裂项相消)已知正项数列的首项其中，函数．5（1）若数列满足且证明是等差数列，并求出数列的通项公式；（2）若数列满足，试证明．三,数列不等式的证明<1>.(构造数列证不等式)对任意自然数n，求证：。1证明：构造数列。所以，即为单调递增数列。所以，即

3、。<2>,(裂项放缩证不等式):1.求证:证:由得到注:常见变型:①或②③④⑤⑥(7).(8)52.求证:<3>借助函数放缩证明不等式:3.求证:4.求证:证:构造函数有[来源:Zxxk.Com]得………①………②<4>利用均值不等式放缩来证不等式:[来源:学

4、科

5、网]1.设,求证:2．当时，证明下列不等式：(1)求证：；(2)在数列中，已知，，求证：；(3)求证：；(4)求证：；【解析】(1)证明(放缩为等差求和)：∵,累加得证;(2)(放缩为等比求和)：由得，∴，累加得证；(3)(放缩为错位相减型求和)：，累加

6、，再用错位相减求和得证；(4)(放缩为裂项相消型求和)：，5而，累加得证;<5>放缩法证明“积式”不等式常用的放缩式：①若，，则；②若，，则.如:当时，证明下列不等式：：；(1)∵，有，即，累乘得证；5