第1讲不等关系与不等式.doc

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1、第1讲　不等关系与不等式【2013年高考会这样考】结合命题真假判断、充要条件、大小比较等知识考查不等式性质的基本应用．【复习指导】不等式的性质是解(证)不等式的基础，关键是正确理解和运用，要弄清条件和结论，近几年高考中多以小题出现，题目难度不大，复习时，应抓好基本概念，少做偏难题．　　基础梳理1．不等式的定义在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号＞、＜、≥、≤、≠连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，叫做不等式．2．比较两个实数的大小两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有a－b＞0⇔

2、a＞b；a－b＝0⇔a＝b；a－b＜0⇔a＜b.另外，若b＞0，则有＞1⇔a＞b；＝1⇔a＝b；＜1⇔a＜b.3．不等式的性质(1)对称性：a＞b⇔b＜a；(2)传递性：a＞b，b＞c⇔a＞c；(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c，a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；(5)可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥2)；(6)可开方：a＞b＞0⇒＞(n∈N，n≥2)．一个技巧作差法变形的技巧：作差法中变形是关键，常进行因式分解或配方．一种方法待定系数法：求代数式的范

3、围时，先用已知的代数式表示目标式，再利用多项式相等的法则求出参数，最后利用不等式的性质求出目标式的范围．两条常用性质(1)倒数性质：①a＞b，ab＞0⇒＜；②a＜0＜b⇒＜；③a＞b＞0,0＜c＜d⇒＞；④0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0⇒＜＜.(2)若a＞b＞0，m＞0，则①真分数的性质：＜；＞(b－m＞0)；②假分数的性质：＞；＜(b－m＞0)．双基自测1．(人教B版教材习题改编)给出下列命题：①a＞b⇒ac2＞bc2；②a＞

4、b

5、⇒a2＞b2；③a＞b⇒a3＞b3；④

6、a

7、＞b⇒a2＞b2.其中正确的命题是(　　)．　　　　　　　　　　

8、　　　　　　　　　A．①②B．②③C．③④D．①④解析　当c＝0时，ac2＝bc2，∴①不正确；a＞

9、b

10、≥0，a2＞

11、b

12、2＝b2，∴②正确；a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)＝(a－b)·＞0，∴③正确；取a＝2，b＝－3，则

13、a

14、＞b，但a2＝4＜b2＝9，∴④不正确．答案　B2．限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，写成不等式就是(　　)．A．v＜40km/hB．v＞40km/hC．v≠40km/hD．v≤40km/h答案　D3．(2012·银川质检)已知a，b，c∈R，则“a

15、＞b”是“ac2＞bc2”的(　　)．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析　a＞b/⇒ac2＞bc2，∵当c2＝0时，ac2＝bc2；反之，ac2＞bc2⇒a＞b.答案　B4．已知a＞b，c＞d，且c，d不为0，那么下列不等式成立的是(　　)．A．ad＞bcB．ac＞bdC．a－c＞b－dD．a＋c＞b＋d解析　由不等式性质知：a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d.答案　D5.与＋1的大小关系为________．解析　－(＋1)＝(＋1)－(＋1)＝－＜0，∴＜＋1.答案　＜＋1　　考向一　比较大小【例

16、1】►已知a，b，c是实数，试比较a2＋b2＋c2与ab＋bc＋ca的大小．[审题视点]采用作差法比较，作差后构造完全平方式即可．解　∵a2＋b2＋c2－(ab＋bc＋ca)＝[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0，当且仅当a＝b＝c时取等号．∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.比较大小的方法常采用作差法与作商法，但题型为选择题时可以用特殊值法来比较大小．【训练1】已知a，b∈R且a＞b，则下列不等式中一定成立的是(　　)．A.＞1B．a2＞b2C．lg(a－b)＞0D.a＜b解析　令a＝2，b＝－1，则a＞b，＝－2，故＞1不

17、成立，排除A；令a＝1，b＝－2，则a2＝1，b2＝4，故a2＞b2不成立，排除B；当a－b在区间(0,1)内时，lg(a－b)＜0，排除C；f(x)＝x在R上是减函数，∵a＞b，∴f(a)＜f(b)．答案　D考向二　不等式的性质【例2】►(2012·包头模拟)若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，则下列命题：(1)ad＞bc；(2)＋＜0；(3)a－c＞b－d；(4)a·(d－c)＞b(d－c)中能成立的个数是(　　)．A．1B．2C．3D．4[审题视点]利用不等式的性质说明正误或举反例说明真假．解析　∵a＞0＞b，c＜d＜0，∴ad＜0，bc

18、＞0，∴ad＜bc，∴(1)错误．∵a＞0＞b＞－a，∴a＞－b＞0，∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0，∴a(－c)＞(－b)(－d)，∴ac＋bd＜0，∴＋＝＜0，∴(2)正确．