直线的倾斜角和斜率_直线方程.doc

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1、直线的倾斜角和斜率，直线方程本周重点：1、直线的倾斜角、斜率　　2、直线方程的四种形式　　本周难点：斜率与倾斜角的关系　　要点及重点例题讲解：　　一、直线的倾斜角和斜率　　1．直线的倾斜角概念的注意点：1）注意旋转方向：逆时针　　2）规定平行x轴（或与x轴重合）的直线倾斜角为0°　　3）直线倾斜角的范围是0°≤<180°　　2．直线的倾率：直线的倾斜角的正切值tan（倾斜角不为90°时）。　　概念注意点：　　1）倾斜角为90°的直线无斜率　　2）斜率k可以是任何实数，每条直线都存在唯一的倾斜角，

2、但不是每条直线都有斜率　　3）=0°时，k=0；0°<<90°时，k>0；=90°时，k不存在；90°<<180°时，k<0。　　3．斜率公式：设直线l的倾斜角为(≠90°)，P1(x1，y2)，P2(x2，y2)(x1≠x2)是直线l上不同两点，直线l的斜率为k，则：k=tan=，当=90°时，或x1=x2时，直线l垂直于x轴，它的斜率不存在。　　例1．求过A(-2，0)，B(-5，3)两点的直线的斜率和倾斜角。　　解：k==-1，即tan=-1，∵0°≤<180°，∴=135°。　　点评：已

3、知直线的斜率，可以直接得出直线的倾斜角，但要注意角的范围。　　例2．设直线l的斜率为k，且-1

4、例斜截式方程。　（2）由两个不重合的点确定一条直线，这在解析几何中表现为直线的两点式方程和其特例截距式。　　2．点斜式和斜截式方程　　（1）经过定点P0(x0，y0)，斜率为k的直线l的方程为y-y0=k(x-x0)，称为直线方程的点斜式。　　（2）当定点P0(x0，y0)是直线l与y轴的交点(0，b)时，方程成为y=kx+b，称为直线方程的斜截式。　　注意：①由于点斜式与斜截式方程中都是用斜率k来表示的，故这两类方程不能用于表示垂直于x轴的直线，这点在解题中应注意，否则会漏解。　　②斜截式选择

5、的是纵截距，但与距离是两回事。　3．（1）经过不同的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)的直线方程：，称为直线的两点式方程。　　（2）当直线经过特殊两点(a，0)，(0，b)，即在x轴，y轴上的截距分别为a，b，且a≠0，b≠0时，直线的方程为：=1，称为直线的截距式方程。　　注意：①截距式方程是两点式方程的特例。它们具有更大的局限性。两点式方程不能表示与坐标轴平行的直线；截距式方程不能表示与坐标轴平行的直线和经过原点的直线。　　②截距式方程通常用于解决直线与坐标

6、轴所围成三角形的面积与周长等问题。　　例3．求倾斜角是直线y=-x+1的倾斜角的一半，且分别满足下列条件的直线方程。①经过点(-4，1)，②在y轴上的截距为-10。　　解：∵直线y=-x+1中k=-，∴此直线的倾斜角为120°，　　由题意，所求直线的倾斜角为60°，斜率k'=。①过点(-4，1)，∴y-1=(x+4)，即:y=x+4+1。②∵在y轴上截距为-10，∴y=x-10。　　点评：1.通过已知直线求出所求直线的斜率，后分别由点斜式和斜截式求出直线的方程。　　2．最后结果往往表达成斜截式的

7、形式。　　例4．求满足下列条件的直线方程。　　(1)过点A(-2，3)，B(4，-1)。(2)在x轴，y轴上的截距分别为4，-5。　　　(3)过点P(2，3)且在坐标轴上截距相等。　　解：(1)由两点式方程得：，化简得：2x+3y-5=0。　　(2)由截距式得：=1，即：5x-4y-20=0。　　(3)当l过原点时，l的方程为，得：3x-2y=0。　　当l不过原点时，设l的方程为=1。∵过点P(2，3)，∴=1，即a=5。∴l:x+y=5。　　点评：①要根据不同的要求，选择适当的方程形式。②截距

8、相等要注意分过原点和不过原点两种情况考虑。　　例5．直线l过定点A(-2，3)且与两坐标轴围成三角形的面积为4，求直线l的方程。　　解：要与坐标轴围成三角形，则l不垂直于x轴，设l的方程为：y-3=k(x+2)　令x=0，得y=2k+3，令y=0，得x=--2，于是l在两轴上的截距分别为--2和2k+3。　　由题意得：

9、(2k+3)(--2)

10、=4，即：(2k+3)(+2)=±8。　　若(2k+3)(+2)=8，化简得：4k2+4k+9=0，k∈。　　若(2k+3)(+2)=-8，化简得：4k2