数列5求数列的前n项和专题.doc

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1、东北师大附中高三数学（文、理）第一轮复习017数列（五）数列的前和专题（2课时）命题人：李海军2007年10月一．高考考点：1．等差数列等比数列前项和公式；2．裂项求和；3．错位相减求和；4．倒序相加求和；5．需要现进行放缩再求和（多见于数列与不等式的证明问题）．二．知识总结：1．数列为等差数列，若数列满足，则求数列的前项和利用利用裂项的方法求和．解：，记的前项和为，则练习：求以下数列的前项和公式：（1）答：（2）答：，所以．2．数列满足：，其中数列是等差数列，数列是等比数列．则求数列的前项和用错位相减法．方法如下：设数列的公差为，数列的公比为，故

2、（*）于是（*）式中，除第一项和最后一项外，每一项都变成了的形式，由于是等差数列，故为常数，故又变成了等比数列的求和问题．练习：（1）数列的通项公式为，求该数列的前项和．答：（2）求数列前n项的和.答：解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{}的通项之积设…………………………………①………………………………②（设制错位）①－②得（错位相减）∴3．倒序相加求和：例：求．解：又，所以，即：所以:．说明：此类题多见于等差数列与组合数相结合的数列中．4．（理科用）关于数列的不等式证明问题，主要思路是通过将前项和放缩成为一个等比数列再求和

3、或放缩成能用裂项求和，求和之后再进行不等式的证明。例1（2006年全国卷I）设数列的前项的和，……（Ⅰ）求首项与通项；（Ⅱ）设，……，证明：解：（I），解得：所以数列是公比为4的等比数列所以：得：（其中n为正整数）（II）所以：例2（2006年福建卷）已知数列满足（I）求数列的通项公式；（II）证明：解：本小题主要考查数列、不等式等基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力。满分14分。（I）解：是以为首项，2为公比的等比数列。即　（II）证法一：　　　　　　　　　　　　　①　　　　　　②②－①，得即　③－④，得　即　是等差数列。证法二：同

4、证法一，得　令得设下面用数学归纳法证明　（1）当时，等式成立。（2）假设当时，那么这就是说，当时，等式也成立。根据（1）和（2），可知对任何都成立。是等差数列。（III）证明：综上，小于号的不等式几乎都能够通过扩大放成等比数列或裂项来进行求和处理，因为这类问题求和之后是（常数）的形式而，故可证小于成立，而大于号的不等式则较为复杂，需要综合运用不等式的知识进行配凑，下面举一例。例数列的各项均为正值，，对任意，，都成立．（1）求数列、的通项公式；（2）当k>7且时，证明对任意都有成立．解：（1）由得，2分数列的各项为正值，∴3分∴4分又∴数列为等比数列

5、．6分∴，，即为数列的通项公式．7分8分（2）设∴(1)10分当时，，∴∴,当且仅当时等号成立．12分上述（1）式中，，，全为正，所以13分∴14分得证．虽然大于号的不等式不好配凑，但有一点可以肯定的，就是放缩之后一定要能求和。练习1（2007浙江理21题）已知数列中的相邻两项是关于的方程的两个根，且．（I）求，，，；（II）求数列的前项和；（Ⅲ）记，，求证：．本题主要考查等差、等比数列的基本知识，考查运算及推理能力．满分15分．（I）解：方程的两个根为，，当时，，所以；当时，，，所以；当时，，，所以时；当时，，，所以．（II）解：．（III）证明

6、：，所以，．当时，，，同时，．综上，当时，．练习2：2007天津在数列中，，，．（Ⅰ）证明数列是等比数列；（Ⅱ）求数列的前项和；（Ⅲ）证明不等式，对任意皆成立．本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的概念、等比数列的通项公式及前项和公式、不等式的证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力．满分12分．（Ⅰ）证明：由题设，得，．又，所以数列是首项为，且公比为的等比数列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，于是数列的通项公式为．所以数列的前项和．（Ⅲ）证明：对任意的，．所以不等式，对任意皆成立．本题在于最终强调基本的作差、作商等的比较方法，此类问题还包括

7、考察数列的单调性的问题，比如要求数列的最大值和最小值的问题，基本通过作差、作商等比较的方法来进行处理。